由“算理与算法”而引发的深度思考

陈呐

培养学生数学计算能力，是小学数学教学中一项十分重要的任务，也是数学教师在教学中必须重视的事情。算理是计算的依据，算法是依据算理提炼出来的方法和规则，只有将算理和算法的有机融合，才能更好地促进计算内容的教学。

算理算法教师教学引发我深度思考的导火索是我区数学中年教师优质课评比中，我校刘老师所讲的人教版四年级上册《口算除法》一课。当刘老师宣布她抽到这一课时，当时参加抽课的数学老师中有人说：“这课没啥讲的，十五分钟全能搞定。”回学校后，我们的第一感觉也是“为什么会是这节课！”我们的刘老师并没有泄气，我们统一了思想：这节计算课正是需要我们深入思考的课题。

在对教材、学情的理解、分析中，我们达成一致：学生知道事实不等于真理解。面对学生已经知道“答案”时，我们需要追问：有多少学生知道答案？有多少学生真正理解要学习的内容？这些都是需要我们深思的问题。学生学习数学时，往往停留在“事实性水平”（对数学知识的理解有这样几个层次：事实性水平、概念性水平、方法性水平、主体性水平）的理解上。在教学中，我们必须辨别出学生的理解所达到的程度，设计恰当活动促进学生对知识的高水平理解。

刘老师以她特有的教法完成了第一次试讲。

第一次试讲后的评课会上，我们就一个问题展开了激烈的争论。

教学片段一：

创设生活情境后解决数学问题：有80个气球，每班分20个。可以分给几个班？

学生脱口而出：80÷20=4。

师问：你是怎样想怎样算的？把你的想法写在本子上。

学生汇报交流：

生1：想20×4=80，所以80÷20=4（这种方法很容易理解，没有学生提出质疑。）

生2：想8÷2=4，所以80÷20=4

师：你听明白他的想法了吗？不明白可以进行质疑。

生3问：80和20后面的两个零哪去了？

生4问：为什么4后面不加零呢？

生2解释不清，向其他学生求助，但解释的都是模棱两可，没有抓住问题的关键。

老师问学生：80是（）个十，20是（）个十，8个十里面有（）个20，所以8÷2=4，80和20后面的零可以同时遮住不看，算8÷2=4则80÷20=4。

刘老师第一次试讲时，这一环节处理得不是很成熟。课后评课时，老师们都觉得这个环节处理得欠火候，学生没有真正理解80÷20=4的算理。而往往在我们平时的课堂上，也是重视算法，忽视了算理的探究，只满足于口算正确，不愿花时间去分析学生的思维过程，也就是“重结果，轻过程。”

我们说，什么叫算理？什么叫算法？这是进行口算教学必须首先搞明白的问题。算理就是计算过程中的道理，解决“为什么这样算”的问题。算法就是计算方法，解决“怎样算”的问题。

那么如何解决“8÷2=4，则80÷20=4”这一问题呢？教师能做的，就是提供有价值的问题或任务同时渗透恰当的数学思想方法，促进学生的思维投入，而不是把现成的知识灌输给学生。经过评课组的反复讨论和思维碰撞，在第二次试讲中，刘老师进行了新的处理和尝试。

教学片段二：

当汇报80÷20怎样想怎样算的，学生解释不清，老师课件逐一演示：

理解：因为8个十÷2个十=4，所以80÷20=4。板书：8个十÷2个十=4

通过图形，将80÷20计算的算理清晰地表达了出来——8个十÷2个十。如果没有这个图形的演示，學生对于算理的分析靠“想象”获得，在没有掌握知识的时候，其实就是“高度的抽象”。这也是第一次试讲学生没能理解为什么“8÷2=4，所以80÷20=4”的原因。用图形帮助学生理解算理，是突破教学难点的有效策略，同时也帮助学生构建了数学模型，即当学生遇到新的数学问题，如果从“为什么”（算理的理解）层面不能自圆其说的时候，能够想到“画图试试”。画出的图形其实就是数学模型图。

后面的教学刘老师没有只停留在解决80÷20=4的问题上，而是及时分析学生的错误成因，适时介入，并根据学生的不同情况展开了进一步的探究和延伸。

教学片段三：

明白了80÷20=4的算理之后，教师又问：800÷200=？

引导学生理解：800就是8个（百），200是2个（百），都以“百”为单位，单位相同。板书：8个百÷2个百

师追问：8000÷2000呢？为什么？你能继续再往下说吗？

生：80000÷20000=4

800000÷200000=4……

在后面的练习中，刘老师专门设计了这样一道题：

算一算，想一想

9÷3=900÷30=

90÷30=9000÷300=

900÷300=

9000÷3000=

在“900÷30、9000÷300”的问题解决中，学生能够正确运用“遮零”的计算方法，解决这一类问题。

回过头来再看《口算除法》这节课的教学，我们是否可以这样理解：最初，学生在口算时，可能有算法而不知算理；后来，知算法而且知算理；再后来，又是有算法无算理。也就是说，在学生学习口算探索与掌握算法的不同时段，他们计算时是否具有算理，经历了“无——有——无”这样一个过程。但我们要清楚地认识到：有算法时，不一定能说清算理；而有算理时，可以转化成算法。这也是学生在理解算理的基础上计算像“900÷30、9000÷300”这样的题目，而不停留于“照葫芦画瓢”式的模仿计算的原因所在。刘老师课堂时间主要用于两个部分：一是作为学习主体的每个学生独立地观察、尝试、交流；二是师生、生生间围绕学习目标多向互动。课堂中，学生除了习得口算除法计算方法“是什么”与“为什么”外，还获得了一种丰富的过程体验。

综上所述，算理不是没有用，而是教师在教学中是否发挥其作用。不要把算理、算法作为“两张皮”。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度。算理往往是隐性的，算法往往是显性的，它们相辅相成，算理的探讨有助于学生探索算法、掌握算法。当然，在口算学习过程中，也要注意避免程式化地叙述算理，对算理的一味推崇容易让学生陷入空洞抽象说教的泥潭，不过，对算法的过度操练也容易让学生走向机械重复练习的窠臼。

参考文献：

[1]徐斌.把握基本矛盾走向有效教学——“数的运算”备课解读与难点透视[J].人民教育出版社.

[2]李吉原.如何提高小学生的数学计算能力[J].小学教学研究.

[3]李传英.小学数学探究式学习的理论与实践[M].山东教育出版社.