浅析能共速板块模型

李小雷

板块模型是指木块和木块之间相互作用的模型，该模型能够综合考察学生对力和运动知识的理解，其中包含静摩擦力力和滑动摩擦力、运动规律、能量守恒定律等相关知识，是高考试题当中重点考察的常见模型，笔者对试题当中的各类能共速板块模型經过分析，发现共速之后的二者的运动分为相对静止和相对滑动两种情况，下面列举几种关于共速之后的模型供同学们参考。

一、在没有人为施加外力的情况下的共速模型

模型特点：木块和木板在没有人为施加外力情况下完成各自加速和减速后能够达到共同速度后能够相对静止或者再次出现相对滑动。

题目当中板块模型没有人为施加外力，只在本身摩擦力作用下运动，如果能够相对静止只需要满足μ1>μ2即可。如果能够相对滑动只需要满足μ1<μ2即可，其中μ1为板块间动摩擦因数，μ2为木板与地面间的动摩擦因数，m为木块质量，M为木板质量。

证明：假设板块模型能够相对静止，二者具有共同加速度。μ2（m+M）g=（m+M）a 可以求得共同加速度a=μ2g，板块之间的摩擦力Ff=μ2m g，如果μ1>μ2，就有μ1m g>μ2m g，二者之间肯定会相对静止，共同运动，但是如果μ1m g<μ2m g，二者之间就会再次出现相对滑动。

例题：一长木板在水平地面上运动，在t=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度-时间图像如图所示。己知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有靡攘.物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g=10m/s2求：

（1）物块与木板间；木板与地面间的动摩擦因数；

（2）从t=0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小.

解析：本试题是对板块模型综合考察，其中包含对图像知识，牛顿第二定律知识，和运动等相关知识。（1）从图像当中我们可以获得木板和木板的运动情况，木块在板块间的摩擦力作用下加速，而木板在板块之间摩擦力和木板和地面摩擦力共同作用下减速，在t=0.5秒时板块获得共同速度。在t=0到t=0.5时间内，假设木块和木板的加速度分别为a1和a2，则对木块进行研究a1=v1/t1根据牛顿第二定律a1=μ1m g/m=μ1 g，将v1、t1代入可以求得μ1=0.2，对木板进行研究，木板加速度大小a2=v0-v1/ t1，根据牛顿第二定律a2=μ1m g+2μ2m g/m=μ1 g+2μ2 g，将v0、v1、 t1、μ1代入求得μ2=0.3。（2）在t=0.5时刻二者达到共速，共速之后二者怎么运动呢？我们发现μ1<μ2，二者还会出现相对滑动，由于木块和木板之间的摩擦力反向，所以物块相对于木板向右运动，继续减速，直到速度减到零，而木板的运动情况可以从图像当中获得也是接着以新的加速度减速，而在新的相对运动过程中物块的加速度大小a1等于a1而木板的加速度大小a2=2μ2m g-μ1m g/m，根据运动学公式：木块相对于地面运动的距离为s1=2×v12/2 a1，木板相对于地面运动的距离为s2=（v02-v12）/2a2+v12/2a2则木块相对于木板的位移s=s1-s2=1.125m。

试问？如果在第一问当中我们如果求得的动摩擦因数当中如果μ1>μ2的话，情况又是怎么样呢？比如说μ1=0.3而μ2=0.2。那么结果就会出现在t=0.5后二者相对静止，共同减速。

结论：在在没有人为施加外力的情况下如果能够相对静止只需要满足μ1>μ2即可。如果能够相对滑动只需要满足μ1<μ2即可。

二、在有人为施加外力的情况下的共速模型

模型特点：木块或木板在受到人为外力作用下各自完成加速或者减速到共速时出现相对静止或者再次出现相对滑动。

如果共速后相对静止，一般题目的题干当中或者提问的问题当中都会有明确的提示，比如说问题当中可能会有小木板至少多长才能保证木块不从小木板上掉下来？或者题干当中有恰能到达木板的最右端诸如此类的提示，就表明共速之后就能够相对静止。但是到底能否相对静止还是相对滑动我们可以简单证明：

证明：假设有人为施加外力F，板块之间摩擦因数为μ1木板与地面之间的摩擦因数为μ2，木块质量为m木板质量为M，令二者能够在外力F的作用下达到相对静止，二者共同的加速度大小a满足（m+M）a=F-μ2（m+M）g，然后对物块分析，板块之间的摩擦力大小Ff=mF/（m+M）- μ2mg，如果Ff小于板块之间的最大静摩擦力μ1mg，二者共速之后就肯定相对静止，如果果Ff大于板块之间的最大静摩擦力μ1mg，二者就会在共速之后继续相对滑动。

总结，在考试当中如果遇到能共速板块模型问题时，除非题目的试题党总有明显暗示，我们必须假设法进行相应判断，如果是没有人为施加外力情况下能够相对静止只需要满足μ1>μ2即可，如果能够相对滑动只需要满足μ1<μ2即可；如果是有人为施加外力情况下我们可以假设法进行判断。