关于积分不等式证明方法的探讨

姜波

【摘 要】积分不等式是高等数学的重要内容之一，它反映了变量与变量之间的某种重要联系。论证积分不等式的方法很多，本文的目的主要是利用微积分学性质、定理以及公式归纳总结高等数学中证明积分不等式的常用方法，探讨有关证题的技巧和规律。

【关键词】积分不等式；性质；定理；公式

积分不等式的证明是高等数学诸多问题中难度较大、技巧性较强、涉及知识面较广的问题.本文结合若干典型例题较全面地给出一些证明积分不等式的方法，仅供读者参考。

1.利用积分的比较性质证明积分不等式

利用积分的比较性质证明积分不等式的关键是得到被积函数在积分区间上的一个不等式。

例1 证明1nxdx

证 当x∈1，2时，≤x，1nx≥0故1nx≤x1nx，且1nx不恒等于x1nx，两函数1nx，x1nx均在1，2上连续，所以，由积分比较性质，有1nxdx

2.利用拉格朗日中值定理证明积分不等式

例2 设f（x）在区间a，b上有连续导数，f（a）=f（b）=0，M=f'（x），证明f（x）dx≤M（b-a）.

证 令x=，在a，x

上，由拉格朗日中值定理，有：

f（x）-f（a）=f'（

ξ）（x-a）≤M（x-a），a<ξ

由f（a）=0，有f（x）≤M（x-a，于是：

f（x）dx≤M（x-a）dx=（x-a）=（b-a）

同理有f（x）dx≤（b-a）

所以f（x）dx≤M（b-a）.

3.利用泰勒公式证明积分不等式

如果被积函数f（x）含有高阶导数，且最高阶导数的符号已知时，可用泰勒公式证明积分不等式.

例3 设f（x）在a，b上有二阶导数，且f"（x）≥0，求证f（x）dx≥（b-a）f.

证 将f（x）在点x=处展开成带有拉格朗日余项的一阶泰勒公式。

f（x）=f+f'+f"（ξ），ξ介于x和之间，

因为f"（x）≥0，所以f（x）≥f+f'，对两边同时积分，得f（x）dx≥f（b-a）+f'dx，

由于dx=0，故f（x）dx≥（b-a）f.

4.利用积分估值性质证明积分不等式

利用积分估值性质证明积分不等式的关键在于求被积函数在积分区间上的最大值和最小值.

例4 证明

证 令f（x）=e，x∈

-，

，则f'（x）=-2xe-x2.令f'（x）=0，得驻点x=0.由于f=e及f（0）=1，知f（x）在区间

-，

上的最大值为f（0）=1，最小值为f=e.于是，当x∈

-，

时，e≤e≤1，且e不恒等于e， e不恒等于1.于是，由积分估值性质，得

5.利用判别式法证明积分不等式

若A>0，Ax+2Bx+c≥0，则它的判别式△=4B-4AC=4（B-AC）≤0，即B-AC≤0.

用判别式法证明积分不等式，其基本思路是建立一个恒正（或非负）二次三项式Aλ+2Bλ+C>0（或≥0），使它的判别式所满足的条件恰好是所需证明的不等式.

例5 设f（x），g（x）均在区间a，b上连续，则有柯西不等式：

f（x）g（x）dx2≤

证 对任意实数λ，有：

λf（x）+g（x）=λf（x）+2λf（x）g（x）+g（x）≥0

所以λf2（x）dx+2λf（x）g（x）dx+g（x）dx≥0

利用关于λ的二次三项式的判别式△≤0，有：

f（x）g（x）dx2≤.

6.利用积分中值定理证明定积分不等式

例6 设f（x）在[0，1]上可导，证明：对于x∈[0，1]，有：

f（x）≤（f（t）+f'（t））dt

证 由积分中值定理，有：

f（t）dt=f（ξ），0≤ξ≤1，

又对任意的x∈[0，1]，有f（x）-f（ξ）=f'（t）dt，即f（x）=f（ξ）+f'（t）dt.于是当x>ξ时：

f（x）≤f（ξ）+

f'（t）dt≤f（ξ）+f'（t）dt≤f（ξ）+f'（t）dt=（f（t）+f'（t））dt

当x<ξ时：

f（x）=f（ξ）+

f'（t）dt=f（ξ）+

f'（t）dt≤f（ξ）+≤

f'（t）dt≤f（ξ）+f'（t）dt≤f（ξ）+f'（t）dt=（f（t）+f'（t））dt

故当x∈[0，1]时，f（x）≤（f（t）+f'（t））dt.

7.利用常數变易法证明积分不等式

例7设在[a，b]上连续的函数f（x）是单调增加的，证明：

（a+b）f（t）dt≤2tf（t）dt

证 引进辅助函数

F（x）=（a+x）f（t）dt-2tf（t）dt，a≤x≤b，则

F'（x）=f（t）dt+（a+x）f（x）-2xf（x）

=f（t）dt-（x-a）f（x）

=f（ξ）（x-a）-（x-a）f（x）

=（x-a）f（ξ）-f（x）（a≤ξ≤x）

由于f（x）是单调增加函数，故F'（x）≤0，即F（x）在[a，b]上不增，又 F（a）=0，b>a，故F（b）≤F（a）=0，即：

（a+b）f（t）dt≤2tf（t）dt.

注：本题辅助函数的构造是将常数b变易为变量x，这种方法叫做常数变易法，它是证明积分不等式的一个重要方法。

8.利用牛顿-莱布尼兹公式证明积分不等式

例8 证明：若f（x）在[a，b]上具有一阶连续导数，且f（a）=f（b）=0，则 f（x）≤f'（x）dx.

证 2f（x）=f（x）-f（a）+f（x）-f（b）=

f'（t）dt+

f'（t）dt=

f'（t）dt+

f'（t）dt≤f'（t）dt+f'（t）dt=f'（t）dt.

所以f（x）≤f'（x）dx.

9.利用二重积分证明积分不等式

注意到f（x）dxg（x）dx=

这里D=（x，y）|a≤x≤b，a≤y≤b

因此f（x）dxg（x）dx=[f（x）g（y）+f（y）g（x）]dxdy可用来证明含双积分号的不等式.

例9 设f（x）在[0，1]上连续，证明edxedx≥1.

证 edxedx=[e.e+e.e]dxdy

=

e

+edxdy≥dxdy=1

其中D=（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，故edxedx≥1. [科]

【参考文献】

[1]侯风波.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2003.8.

[2]李小平，赵旭波.定积分不等式几种典型证法[J].高等数学研究，2009（06）.

[3]刘法贵，左卫兵.证明积分不等式的几种方法[J].高等数学研究，2008（01）.

[4]周兴建.不等式证明的若干方法[J].中国科教创新导刊，2007（26）.