基于气隙磁通边缘效应的轴向混合磁轴承承载力解析计算

张云鹏， 薛博文， 刘淑琴， 李红伟

(1.山东大学电气工程学院，山东济南250061;2.山东大学电网智能化调度与控制教育部重点实验室，山东济南250061)

0 引言

磁悬浮轴承又简称为磁轴承，是利用定转子之间的磁力相互作用，支承转子悬浮于空间的一种机电装置。因具有无机械磨损、噪音小、寿命长、无需润滑等优点，广泛适用于高速、真空、超洁净和核电等应用场合［1－2］。近年来，在人工心脏、飞轮储能、航天航空等特殊领域，对磁轴承的体积、重量和功率损耗都提出了苛刻要求，因此低功耗和微型化是磁悬浮轴承研究与发展的重要方向［3－5］。

磁悬浮系统中转子除了轴向转动由电机控制外，其余空间五个自由度由磁悬浮系统控制。传统的磁悬浮转子系统由两组径向主动磁轴承和一组轴向主动磁轴承组成，每组主动磁轴承都配合各个自由度上的位移传感器、控制器和功率放大器等器件，难以实现微型化和低功耗。减少主动控制自由度，简化磁悬浮硬件系统，是实现磁轴承系统的微型化和低功耗主要途径。四自由度和三自由度等多自由度主动控制的磁轴承系统，已被广泛研究和实际应用［6－7］。单自由度轴向混合磁轴承系统将主动控制自由度降到最低，最大限度降低了功耗和简化系统结构，近年来引起了广泛的关注［8－9］。

在单自由度磁轴承实现五自由度悬浮系统中，轴向磁轴承气隙处的磁通同时提供径向承载力和轴向承载力，关键问题是求解径向和轴向承载力与磁轴承结构参数之间的解析模型。文献［10－11］基于磁路分析法对轴向永磁轴承径向磁力进行了研究，得出径向磁力的解析表达式。文献［12］通过磁路分析，用虚位移法求解轴向混合磁轴承的径向承载力，并对径向承载力与结构参数之间的关系进行分析，但模型中没有计及气隙磁通的边缘效应。利用气隙磁通的边缘效应对电磁机构进行磁路分析，已应用于带气隙的继电器、开关磁阻电机等［13－14］。文献［14］利用气隙磁通的边缘效应分析了倾斜磁极结构的径向磁轴承的承载力，发现边缘磁通对于磁轴承多自由悬浮具有关键作用，但未对轴向磁轴承系统做出分析。

本文在分析轴向混合磁轴承磁路以及气隙磁通的空间分布的基础上，对包括边缘磁通在内的各部分磁导进行数学建模，用虚位移法分别得出了轴向混合磁轴承的轴向承载力和径向承载力解析数学模型，分析了轴向力和径向力与轴向气隙和径向位移之间的关系，并分析轴向力与径向力的耦合特性，并得到两者之间的内在联系，并通过有限元仿真对结果进行了验证，为单自由度主动控制磁悬浮系统中轴向混合磁轴承的设计提供了一定的理论指导。

1 单自由度轴向混合磁悬浮结构及工作原理

轴向单自由度磁轴承实现五自由度悬浮系统结构由两侧的定子部分和中间的转子部分组成，两侧成对称分布，具体结构如图1所示。图中阴影部分为轴向磁化的永磁体，产生永磁偏置磁通。永磁磁路经过永磁体、定子铁心、气隙、转子铁心形成永磁磁通回路。电磁线圈置于定子铁心中，通电后通过定转子铁心和永磁体，形成电磁磁通回路，磁路总磁通为永磁磁通和电磁磁通的叠加，永磁与电磁磁通叠加，通过气隙磁场，提供转子所需轴向和径向悬浮力。

图1 轴向混合磁轴承实现转子五自由度悬浮结构Fig.1 Five DOF suspension system supported by axial HMB

该系统轴向主动悬浮的工作原理与传统磁单自由度悬浮系统原理相同，通过位移传感器检测转子相对于参考位置的轴向偏移(z方向)，控制器通过功率放大器控制两侧磁轴承中的电流，从而控制两侧气隙处的磁通，产生轴向恢复力，使转子在轴向保持主动的稳定悬浮［1－2］。

除了轴向平动和沿轴向转动两个自由度外，其余四个自由度由气隙处磁力的实现被动悬浮。当转子在径向(x或y方向)有微小位移时，由于气隙处磁通边缘效应，会产生与轴向有一定夹角，磁力的径向分力，方向与径向位移方向相反，指向轴心，将使转子回到径向平衡位置，从而保持转子的径向被动悬浮。当转子沿x轴或者y轴有微小转动时，转子两端的磁力的径向分力会形成一个恢复力矩，使转子回到平衡位置，从而使转子在沿x，y轴的转动自由度实现被动悬浮。因此，两端磁轴承的径向分力是实现被动悬浮的关键，本文将重点分析气隙处的磁通分布与径向力的解析表达。

2 磁路模型与承载力分析

2.1 考虑气隙磁通边缘效应的磁路模型与气隙磁导计算

当转子无径向位移时，两侧气隙处磁通与磁场的空间分布均为轴对称分布，因此磁轴承与转子之间只存在轴向力，径向力为零。当转子发生径向位移时，气隙处的磁通量与磁场分布不再是轴对称，利用分割磁场法，将气隙中的整个磁场分割为不同区域的磁通管G1－G8，图中G1，G2为磁极重叠部分，磁力线仍与轴向平行;G3与G4部分串联，代表中心磁极与侧面之间的磁导，G5与G6串联，G7与G8串联代表了外侧磁极表面与外侧磁极内外侧面之间的磁导。利用各部分磁导之间的串并联关系，建立对应的磁路模型，如图2所示。

图2 气隙磁场的空间分布及磁路模型Fig.2 Distribution of magnetic field in axial HMB and magnetic circuit model

G1～G8各部分磁导的具体表达式［15］为

内侧磁极气隙的磁导Gi为

外侧磁极气隙的磁导Go为

根据图2中磁路的各部分磁导串并联关系得到磁路的总磁导Ga为

2.2 轴向力与径向力的解析表达

按照电磁场理论，气隙处磁场能表达式为

Fm为气隙处磁压降，在气隙磁场能对轴向位移g和径向位移e求偏导时，假设内外磁极气隙处的磁压降Fmi和Fmo保持不变。根据虚位移法，可以得到轴向磁轴承的轴向与径向承载力。轴向承载力为

磁极间径向承载力为

根据式(13)，式(14)，可得磁轴承的轴向刚度与径向刚度为

根据式(15)和式(16)，当气隙处磁压降不变时，轴向自有刚度为负值，因此必须依靠控制器实时控制电磁线圈中的电流，改变两侧气隙处的磁压降Fmi和Fmo实现转子的轴向主动悬浮。径向刚度始终为正，即混合磁轴承的径向力指向平衡位置，因此可以实现径向的被动悬浮。

2.3 承载力与轴向气隙和径向位移关系分析

根据式(17)，轴向磁轴承的轴向力除了与气隙磁压降有关，是结构参数R1－R3、轴向气隙g和径向位移e的复杂函数，而磁轴承一旦设计加工完成，运行过程中只有轴向气隙g和径向位移e变化，因此主要研究轴向力和径向力随轴向气隙和径向位移的变化关系。由解析表达式可知，轴向力随轴向气隙g的增大而减小，当磁轴承转子没有径向位移，即e=0时，轴向力的表达式为

可知，轴向力与轴向气隙g的平方成反比，与文献结果一致［2］。

当磁轴承转子发生径向位移，即e≠0时，设磁极厚度为 t，对于内磁极 ti=R1，对于外磁极 to=R3－R2，根据式(13)，定义轴向力因子 Az为

内外磁极的轴向力表达式可以简化为

研究轴向力与轴向气隙g与径向位移e的关系时，只要考虑轴向力因子Az与g和e的关系。以设计的磁悬浮人工心脏泵用轴向混合磁轴承为例，图3为轴向力因子Az与轴向气隙g与径向位移e的关系，由图可见，轴向力因子Az随着轴向气隙g增大而迅速减小，这是由于轴向气隙g增大导致气隙磁阻增大，气隙处的磁通密度减小所导致。当径向位移e的增大时，Az随之而减小，近似成线性关系，这是由于径向位移使定转子磁极发生错位，磁极的正对面积减小，气隙边缘处磁场分布不再为轴向，产生径向分量，因此轴向力减小。同时由图可知，轴向力主要受轴向气隙g影响，随径向位移e变化不明显。

图3 轴向力因子Az随轴向气隙与径向位移的变化关系Fig.3 Axial force factor Azdependence on axial gap and radial displacement

根据式(18)，径向力除了与气隙磁压降和结构参数有关外，与轴向气隙g和径向位移e的关系可以用径向力因子Ar表示为

则径向力可表示为

图4为Ar与轴向气隙g与径向位移e的关系图，径向力随着轴向气隙g的增大而快速减小，随着径向位移e的增大而增大。

图4 径向力因子Ar随轴向气隙与径向位移的变化关系Fig.4 Radial force factor Ardependence on axial gap and radial displacement

图5 径向力因子Ar随径向位移的变化关系Fig.5 Radial force factor Ardependence on radial displacement

图5 为不同轴向气隙时，径向力因子随径向位移的变化关系，由图可见，径向力随着径向位移增加而先增加，然后趋于饱和，由式(14)知饱和值为

上式可作为混合磁轴承径向被动悬浮的设计的最大径向承载力。

2.4 径向力与轴向之间的耦合特性

在单自由度磁悬浮系统中，轴向两端磁轴承同时提供轴向力和径向力。当转子轴向偏移平衡位置时，通过控制两侧磁轴承中的控制电流，改变两侧的气隙中的磁通密度，实现轴向的主动悬浮。轴向混合磁轴承在控制轴向力的同时，改变了磁轴承对转子的径向力，影响径向的被动悬浮刚度，因此必须研究径向力与轴向力之间的耦合特性，才能够同时实现轴向主动悬浮和径向被动悬浮，实现轴向磁轴承轴向和径向的解耦控制。

由式(13)，式(14)可知，内外侧磁极的径向力与轴向力之比等于径向力因子与轴向力因子之比，定义为径向/轴向力系数X为

图6所示为径向/轴向力系数X随轴向气隙和径向位移的变化关系图。由图可知，X随轴向气隙g增大而增大，同时随径向位移e的增大也增大。具体变化情况如图7所示，径向/轴向力系数随径向位移的增大，斜率变小，说明增大趋势变缓，在径向小位移时，可以通过提高两侧轴向力而提高径向力，但在径向位移较大时，效果不明显。轴向气隙g增大时，前面分析得到轴向力和径向力均减小，由径向/轴向力系数的变化可知，轴向力比径向力减小的更快。

图6 径向/轴向力系数X随轴向气隙与径向位移的变化关系Fig.6 Radial to axial force ratio factor X dependence on axial gap and radial displacement

图7 径向/轴向力系数X随径向位移的变化关系Fig.7 Radial to axial force ratio factor X dependence on radial displacement

3 仿真分析与结果

利用电磁场有限元仿真软件，建立轴向混合磁轴承模型，对轴向混合磁轴承的径向力和轴向力有限元仿真，并与理论结果进行对照。为了研究磁通边缘效应对计算结果的影响，对未考虑边缘效应时轴向混合磁轴承的径向力和轴向力也进行了计算。

3.1 轴向承载力

图8为当磁轴承发生轴向位移时，磁轴承轴向力与轴向气隙g之间的关系图，可以看到考虑边缘磁通前后，轴向承载力计算结果一致。这主要是由于磁极间主要为轴向磁通，边缘磁通相对磁极间主磁通可以忽略。同时仿真值小于理论计算值，是由于忽略铁心及永磁体的磁阻，导致理论计算的磁路总磁导偏大所致。

图8 轴向力随轴向气隙的变化关系Fig.8 Axial force dependence on axial gap

3.2 径向承载力

磁轴承的径向承载力随径向位移的变化关系如图9所示，在不计入边缘效应的磁路模型中，当e=g/2时，径向承载力达到最大值，与仿真值出现了较大偏差，主要是因为未考虑边缘磁通的磁路模型过于简单，不能够反映气隙磁场的复杂空间分布;计入边缘效应后，径向承载力随径向位移增大而增大，与仿真结果符合较好，说明了在研究轴向混合磁轴承径向承载力时，必须考虑气隙磁通的边缘效应。径向力与径向位移的近似线性关系也为径向被动悬浮的调节提供了理论基础。

图9 径向力随径向位移的变化关系Fig.9 Radial force dependence on radial displacement

3.3 模型的局限性

在分析气隙磁通的边缘效应时，图2中所示的G1，G2，G3，G5，G7部分磁通为轴向磁通，G4，G6，G8为磁极侧面的漏磁通，同时忽略了内外磁极之间的磁导，在径向位移e远小于磁极厚度的时候，以上气隙磁通的空间分布模型成立。当径向位移大于磁极厚度时，以上的解析结果不再适用。在实际应用中，磁轴承的最大可移动范围(小于1 mm)远小于磁极的径向厚度，因此解析式(13)～式(16)可以用于磁轴承实际设计的需要。

4 结语

通过基于气隙磁通边缘效应的磁路模型，利用虚位移法推导了轴向磁轴承的轴向力和径向力的解析表达。结果表明，轴向力随轴向气隙增加而迅速减小，随径向位移增大而近似线性减小。径向力随轴向气隙增加而迅速减小，随径向位移增大而先增大，后趋于饱和。通过分析轴向力与径向力的耦合特性发现，径向/轴向力系数随径向位移的增大，斜率变小，说明径向力增大趋势变缓，在径向小位移时，可以通过提高两侧轴向力而提高径向力，但在径向位移较大时，效果不明显。轴向气隙增大时，轴向力比径向力减小的更快。以上分析磁悬浮系统轴向和径向的解耦控制提供了理论依据。利用有限元方法对轴向力和径向力进行仿真计算，计入气隙边缘磁通的磁路模型结果与仿真结果符合较好，说明考虑气隙磁通边缘效应是必要的。

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