单水库汛期分段线性调度的在线策略与分析

2014-01-16徐寅峰管晓宏

西安交通大学学报 2014年2期

汝海，高峰，徐寅峰，管晓宏

（1.西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室，710049，西安；2.西安交通大学电子与信息工程学院，710049，西安；3.西安交通大学管理学院，710049，西安）

关于水电站如何有效调节库容、使得水库汛期内总损失最小的问题，已经有大量的研究文献［1-2］。以往对于水库汛期调度的研究，通常基于假设各个阶段自然来水量信息满足某种假设分布或者事先已知，进而建立优化模型，改进优化算法，采用数值分析等方法，给出水库的优化控制方法。

水库汛期来水带有很强的不确定性，一个汛期内很难符合某种具体规律。在现有预测手段中，洪水预报提前量有限，国内水库汛期调度中大都采取最保守的调度策略，即在进入汛期前水库就处于限制水位，使水库长时间处于低水位发电的状态。当汛期来水晚于年平均到达时间时，就会因为水库长时间处于低水位状态，带来发电效益以及工农业日常用水调度上的巨大损失。相应地，若不在进入汛期前降低水库水位，当洪峰过早到达水库，会造成水库水位过高，产生大量弃水，甚至有溃坝的风险。

本文针对洪水发生时刻不确定性造成的矛盾，考虑在汛期内单一洪峰过境的情形下水库的调度问题，从在线理论和竞争分析［3-5］的角度研究水库发电调度问题，根据单水库发电调度的具体问题做出一些假设，建水库和洪水模型，基于模型提出汛期库容调度策略，随后设计实验验证调度效果。

若洪峰到达水库的时刻tf在进入汛期时已知，则如何调整库容以减小汛期内水库总损失为一个离线优化问题，用Copt（tf）表示汛期离线总损失。若在进入汛期前洪峰到达水库的时刻tf未知，为在线调度问题，用C（g（·），tf）表示某一水库库容调度的在线策略g（·）对应的在线汛期总损失［6-7］。定义该在线策略对应的竞争比为

在线策略集中，竞争比c最接近1的策略g＊（·）为最优在线策略。最优策略表达式为

1 问题背景和建模

1.1 问题背景

假设单水库在汛期中一段时间内会有一次洪峰过境，并假设洪水总来水量与水库调节库容相等。未知洪峰具体到达时间，且需要在汛期开始阶段制定库容变化曲线，如图1所示。在洪峰到达水库之前，水库按照制定的曲线调整库容大小，当洪峰过境后，水库恢复最大库容。

图1中虚线表示汛期开始时制定的库容变化策略，实线表示洪水在tf时刻到达水库对应的实际库容变化曲线。洪峰到达水库后，若水库总库容超出最大库容值，则须弃水，造成的损失称为弃水损失。水库为了减小弃水损失会提前腾出一部分防汛库容，使得水库处在低水位的状态，从而造成发电效率降低以及水库发电调度方面的损失，称为低水位损失。本文致力于如何有效平衡两部分损失以减小汛期内水库总损失。

图1 汛期水电站库容变化示意图

1.2 模型建立

汛期总时长为T，时间点用t表示，t∈［0，T］。汛期调度分为n个时段，分别用i表示，i=｛1，2，…，n｝，每个时段时长用Ti表示，每时段中库容匀速变化，整体库容曲线为分段线性曲线，如图2所示。

图2 库容分段线性变化示意图

（1）水库设定。水库最大库容为Vmax，防洪最小库容为Vmin，定义最大可调节库容¯V≜Vmax-Vmin。水库t时刻实时库容为Vt。可调节库容为

为方便计算，在后文中只讨论可调节库容V（t）。水库瞬时最大出水量为qmax，持续以最大出水量放水，经过m单位时间可以从最大库容降到最小库容，即V=qmaxm，并有|d（Vt）／dt|≤qmax。

当洪峰到来，水库总水量超出最大库容的部分为弃水。弃水量为

式中：Vf是一次洪峰过境到来的总水量。

（2）来水量设定。进入汛期后，在［0，T］内的某一未知时刻，水库会经历一次洪峰，设洪峰到达时刻为tf，tf∈［0，T］。为简化分析，假设洪水总来水量会在洪峰到达时刻全部到达水库，洪水总体积为Vf，且总量等于调节库容，即Vf=¯V。非洪峰时刻的瞬时来水量为wt，放水量为Qt，在无库容变化需求时，放水量与来水量相等，Qt=q（t）+wt。q（t）为t时刻库容变化量，d（V（t））／dt=q（t）。

（3）决策量。V（t）在线策略g（·）为分段线性变化的实时库容大小。如图2所示，g（·）曲线表示在洪峰到达前的库容变化曲线。策略决定的水库瞬时库容为

（4）损失函数。C（g（·），tf）表示汛期总损失，g（·）为库容变化策略，tf为洪峰到达时刻。

式（9）中：等号右边2项分别表示低水位损失和弃水损失；α、β是对应的损失惩罚系数，根据实际损失比例，给出两个惩罚系数的大小关系为β／α＞T／2。

如图1所示，损失函数等价于求解阴影部分面积与损失惩罚系数α的乘积再加上弃水损失。当库容匀速变化，则库容曲线在t∈［ti-1，ti］内为一条直线，如图3所示，对应的阴影面积为梯形。当tf∈［ti-1，ti］时，由式（8）、式（9）得区间［ti-1，ti］内的总损失函数

图3 洪峰时段库容变化示意图

2 离线策略分析

离线策略预先知道汛期来水序列，从而针对来水序列设计最优对应库容调整策略，用Copt（tf）表示洪峰在tf时刻到达水库的最小损失，相应的库容调整策略gopt（·）为tf时刻的最优策略。

对于本问题，若事先知道洪峰到达时刻为tf，tf∈［0，T］，则最优策略为水库在［0，tf-m）时段一直维持最高水位发电，之后从tf-m时刻开始全力放水，于是在tf时库容恰好达到防汛库容，而当tf时刻洪峰到来之后，水电站又恢复最高水位的发电调度，从而使得整体损失最小，即

其离线最优性在参考文献［8］中给出了证明。

洪峰在汛期内任意时刻到达水库，其最小损失值是一个定值。当tf＜m时，需从汛期开始前放水至最低水位，损失值不变。当tf∈［0，T］时，Copt（tf）为一个定值。因此，式（1）中的目标函数等价于求解·），tf）｝。使得在线损失最小的策略即为最优在线策略。

3 在线策略求解与分析

在线情形下，洪峰到达水库的时刻未知。将汛期划分为n个匀速放水时段，每时段时长Ti任意，且每个时段内库容匀速变化，如图2所示。研究目标为汛期整体在线损失最小，等价于制定合适的｛0，t1，t2，…，tn-1，T｝与｛V（0），V（t1），V（t2），…，V（tn）｝，使汛期整体在线损失最小，其中t0=0，tn=T。

3.1 库容分段线性变化的几个性质定理

当库容分段线性变化时，有如下3个定理。定理1 在某一时段［ti-1，ti］内，库容匀速变化，当洪峰在该时段内到来时，区间内损失最大值出现在洪峰时段起点或终点处到来的情形下。

证明：等价于证明当tf∈［ti-1，ti］时，有

在时段［ti-1，ti］内的库容变化曲线如图3所示，由式（10）得策略在时段［ti-1，ti］内的损失函数

验证当tf在区间［ti-1，ti］内时损失函数的凸凹性质，需要求解损失对于tf的二次导数。

策略在时段［ti-1，ti］内库容均匀变化，则tf时刻库容的线性表达式为

损失函数是凸函数，则损失最大值只会出现在区间两端点处，即tf=ti-1或tf=ti处。

证毕。

当tf＜ti-1时，时段［ti-1，ti］内的损失为0，当tf＞ti时，时段［ti-1，ti］内的损失为固定的低水位损失值。定理1证明，汛期内最大损失值只出现于洪峰在各个时段的起止端点处到达的情形，即｛0，t1，t2，…，tn-1，T｝处。

定理2 在策略集中，若洪峰在最后的时段，即第n时段内到达水库，库容｛V（0），V（t1），V（t2），…，V（tn-1）｝任意给定，当且仅当V（tn）=0（tn=T），使得汛期内总损失上限最小。

证明：如图4所示，在第n时段内，库容变化曲线的直线方程为

式中：x为不考虑洪水因素，水库以均匀速率放水至最低水位的时间点。当x=T时，末水位恰好落在0水位处。相应的策略集分别用y1（·），y2（·），y3（·）表示，等价于证明g（·）=y2（·）时的损失上限最小。由定理1得最大损失出现在区间两端。最大值比较则只需比较tf=tn-1和tf=tn时3种策略集对应的总损失。

图4 第n时段库容变化策略集

当tf=tn-1时，因为y1（·）、y2（·）、y3（·）的初始库容V（tn-1）相等，代入式（10）计算，有

当tf=tn-1时，3个策略集的总损失大小相等。

在tf=T时，对应的汛期总损失由式（10）求解。代入数值计算得到

即调度策略g（·）=y2（·）时，损失上限最小。

证毕。

定理2证明，在所有策略集中均有最优策略的末水位V（tn）=0（tn=T）。

定理3 在第i时段内，当时段长度Ti与时段末水位V（ti）任意给定时，有且仅有一个时段初始水位V＊（ti-1）使得洪峰在tf=ti-1和tf=ti到来造成的汛期总损失相等，且该损失即为时段内最小的损失上限。

证明：等价于证明有g（ti-1）=V＊（ti-1），使得C（g（·），ti-1）=C（g（·），ti）时g（·），tf）最小。

当tf=ti-1时，区间［ti-1，ti］内的弃水大小由式（8）得sti-1=V（ti-1），代入式（10）得

当V （ti-1）增加时，C（g（·），ti-1）增加，C（g（·），ti）减小。有且只有一个 V＊（ti-1）使C（g（·），ti-1）=C（g（·），ti）。根据函数增减性得：

当V（ti-1）＞V＊（ti-1）时，C（g（·），ti-1）＞C（g＊（·），ti-1）；

当V （ti-1）＜V＊（ti-1）时，C（g（·），ti）＞C（g＊（·），ti）。

当且仅当V（ti-1）=V＊（ti-1）时，洪峰在区间内到达造成的损失上限最小［8-9］。

证毕。

定理3证明了在一个库容匀速变化的时段内，当洪峰在时段初与时段末到来造成的损失相等时，该时段内的损失上限最小。

3.2 在线策略

如图2所示，汛期内水库有n个不同时段，时段时长分别为Ti，各时段共有n+1个端点分别表示为｛0，t1，t2，…，tn-1，T｝，每个时段内库容独立匀速变化。此条件下库容调整的最优在线策略ULB（Uniform Loss Bound）算法如下。

当洪峰到来后，水库维持在最高库容处发电调度。ULB策略的瞬时库容大小为

n个时段长度均为T／n，即Ti＊=T／n。在洪峰到来前，各个端点处的库容为

对于每一个水库模型，策略中对应的参数都有具体参数值，所以策略是确定性策略。

库容按最优策略调整时的最优竞争比为

式中的参数对于任意给定的水库均为确定值。

式（25）等价于

下面采用归纳法证明。

（1）当n=1时，T1=T／n=T。由定理3得C（g（·），t0）=C（g（·），tn）时，损失上限最小。等式两端分别将式（22）、式（10）代入得

显然命题在n=1时成立。

（2）假设在n=k，k≥1时命题成立。当tf∈［t0，tn］时，损失上限大小为βV（t0），当且仅当 Ti=T／k，且

（3）当n=k+1时，t1时刻任意给定，从t1至tn时刻共有k个时段，这k个时段等价于第2点假设，Ti+1=T／k，i=｛1，2，…，k+1｝。只需求解使得损失最小的V（t0）和T1。由定理3得，当tf∈［t0，t1］时，要使损失上限最小，当且仅当C（g（·），t0）=C（g（·），t1）。

由式（28）得

由式（31），V（t0）对T1求一阶导数，可以推导得到，当且仅当 T=T-T／k 时，11βV（t0）有最小值。解得T1=T-T1／k=T／（k+1），即Ti=T／n，代入式（31）得

证毕。

最优策略的竞争比由式（27）得

在n值任意给定时，当且仅当汛期均匀分成n段，且洪峰在每个分段点处到达造成的总损失相等时，汛期内的损失上限最小。符合以上条件的在线策略为最优在线策略。

4 数值仿真与分析

选取某水库从2005年到2010年间的汛期来水数据，进行数值仿真实验。该水库位于陕西省汉江流域，最大库容25.85×108m3，最小库容15.65×108m3。最大发电用水量1 216m3／s，选取汛期2个月，以天为单位，T=60d，m=3d，根据水库历年数据换算得到α=0.001元／d·m3，β=0.187元／m3。

4.1 策略损失对比

图5中直线表示水库分5个调度时段（n=5）库容均匀变化时，在线调度策略ULB算法针对多次不同来水序列的总损失上限；点阵为n=5的随机策略（在n=5的条件下，随机设定各个时段长度以及初始库容大小，进而计算该条件下的调度策略，称为随机策略）对应多次不同来水序列的总损失上限。

图5 ULB策略与随机策略的损失对比

图6 为选取2005到2010年间多次单洪峰过境的调度时段（每个时段长度不等），随机调度策略与ULB策略分别对应的损失上限。上方虚线为随机策略对应的损失值，下方实线为ULB策略对应的损失值。

在各种不同来水序列下，与不同策略的对比中，实验验证了时段数n确定时，ULB策略是损失上限最小的在线策略。并且与传统调度策略相比，ULB策略有效降低了损失及损失上限值，损失平均降低了7.09%。

4.2 调度时段数与库容变化及损失上限的关系

当调度时段数为n=2与n=5时，分别求其最优的库容变化曲线以及对应的随tf∈ ［0，T］变化的损失函数曲线。如图7所示，虚线为n=2时对应的曲线，实线为n=5对应曲线；图7a为两n值对应的汛期内水库在洪峰到达前的库容调整策略曲线，图7b为汛期内洪峰在［0，T］时刻到来对应的汛期内总损失大小。

水电站分段均匀调整库容时，当可调节时段划分越多时，对应的汛期初始水位越低，汛期总损失上限也越小。洪峰在每个调度时段端点处到达水库时，造成的汛期总损失较大，在调度时段中段到达水库时，造成的汛期总损失相对较小。

图6 ULB策略与传统策略的损失对比

图7 库容变化曲线与损失对比

5 结语

本文讨论了短期调度水电站汛期内遇到单一洪峰的水电站库容调度问题，用在线算法的思想进行分析与决策。首先讨论了各种情形下的离线策略，确定离线损失为一个定值，竞争比的大小只与在线损失大小有关。进而分析了多时段可变库容条件下的在线策略，当且仅当库容变化区间长度相等且洪峰在各个调度区间的端点处到来造成的损失大小相等时，水电站汛期在线总损失上限最小。给出了最优在线策略ULB策略与最优竞争比cULB，并证明了最优性。最后，用安康水库实际数据设计实验，验证了算法性能，ULB策略有效降低了水电站汛期内的损失上限。

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