修正的演化少数者博弈在NW 小世界网络上的模仿效应分析

刘英明，全宏俊

（华南理工大学物理系，广东广州，510641）

1 模型描述

首先构造一个NW 小世界网络，开始每个节点与其左右对称的相邻2k 个节点相连构成规则网络，然后，每个节点都以一定的概率ps与相邻2k 节点外的其他一个节点相连，并且不能与自己相连。每个节点代表一个经纪人，相连的节点代表经纪人之间为邻居。每个经纪人都有一个策略、一个概率值p 和相同m 的历史记忆量：μ(t)={b(t-m),…,b（t-2）,b(t-1)}，其中，b(t)=“0”或“1”。所有经纪人做出选择后处于少数方的经纪人获胜，并且其得分加1，处于多数方的经纪人得分减1。博弈开始前，每个经纪人从策略库中随机抽取一个策略作为自己的策略，并且均匀随机分配一个概率策略p。博弈时，每个经纪人根据历史记录和策略来预测下一步的获胜方；并且以自己的概率p 决定去自己策略的预测方，以1p 去策略预测方的相反方。相邻经纪人之间的得分与概率p 是共享的，因此每个经纪人都知道自己邻居的得分与概率。当经纪人的得分低于某一值d(d<0)时，经纪人以其邻居中得分最高的经纪人的概率为中心，2dp 为宽度，均匀随机重新选择一个新的概率p，若得分最高的邻居有2 个及以上，则从中随机选择一个；若自己得分最高则以自己为中心，2dp 为宽度，重新选择。模型中采用反射边界条件保证新概率p 在[0,1]之间。相比于Quan H.J等人提出的博弈模型,本文模型中每个经纪人多了一个从策略库中随机选择的策略。

这一模型的系统标准差可以表示为：

其中A(t)表示t 时步选择A 方的人数， 表示T 时步内选择A 方的人数的平均值。

2 结果与讨论

考虑N=1001，d= 4，k=5 的系统。图1 ～ 4 和图6 中，每个数据点都是50 次取平均值，每次都是运行107后，对106时步的结果做统计平均。图1 给出了m=3，2dp=0.1 时，不同重连概率ps下的经纪人的概率分布图，可以看出p 在p=0 和p=1 处也出现了类似于EMG 的自相分离现象，。

图1 m=3 时 不同重连概率ps 下的概率p 分布P(p)

图2 给出了不同m 下的概率p 分布，可以看出p 分布P(p)与m 有着密切的关系；在m 小时p 分布在p～0 和p～1 处密集，中间段最小，自相分离程度很高；随着m 的增大，P(p)变得平滑，自相分离程度越来越低。原因是，在m 很小的时，，策略库中的所有策略都被经纪人所用，并且所有的策略都均匀分布在经纪人当中，再加上每个经纪人都只有一个策略，使得人群-反人群效应达到最优，因此出现的自分离程度最大；随着m 的增大，策略库中的策略只有一部分策略被经纪人所有，策略与策略的反策略不能够同m 很小的时候一样都被均匀的利用，人群-反人群效应变小，自分离程度也就减小；当m 增大到 ，此时策略库中只有很少的一部分策略被经纪人所用，策略与策略的反策略被同时使用的几率减小到很小，人群-反人群效应最小，进入了随机选择状态。

图3 给出了不同ps 下， 与m 的关系，可以看出，在m=1 时，系统方差最小；随着m 的增大，系统方差逐渐增大；当m 增加到极限时，系统方差趋于随机选择。原因见对图2 的分析。从图3 还可以看出，ps=0.5 的系统方差要比ps=0.1 的系统方差要小，为了解释这一原因，图4 给出了 /N 与集聚系数C 的关系，发现随着集聚系数的增加 /N 不断减小，且减小的幅度不断增加，而ps的增加将引起C 的减小，（见图5），所以重连概率越大，小世界网络的聚焦系数越小，集团化程度越低，系统方差也就越大。图5 给出了给出了WS 小世界网络和NW 小世界网络的集聚系数与ps的关系，可以看出，在Ps较大时，NW 的集聚系数要大于WS，说明此时NW 的集聚度较WS 要高。

图2 不同m 下的概率分布P(p)

图6 给出了ps=0.1 时，这本文模型与“WS 小世界网络上修正的演化少数者博弈模型”（WSMEMG）的 /N 与m 的关系对比。可以看出，在相同重连概率下，本文模型的系统方差相比于WSMEMG 模型的方差要小，原因是ps=0.1 时，NW 小世界网络的集聚系数相比于WS 小世界网络要大；在ps=0.1 时NW 小世界网络结构的聚焦系数 ，WS 小世界网络的集聚系数 ；集聚系数的大表明经纪人之间通过模仿交流所获得信息增多，从而系统方差减小。

图3 不同ps 下 /N 与m 的关系

图4 /N 与集聚系数C 的关系

图5 NW 和WS 两种小世界网络的集聚系数与ps 的关系

图6 本文模型与WSMEMG 模型的 /N 随m 的变化关系的对比

3 结论

本节主要研究了NW 小世界网络上修正的演化少数者博弈的模仿效应，发现了这一模型的系统同样出现了经纪人的自组织分离现象；并且与“WS 小世界网络上修正的演化少数者博弈的模仿效应”进行了对比分析，由于NW 小世界网络的集聚系数较WS 小世界网络的集聚系数大，集团化程度高，系统方差也就要小。

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