论小学数学逆向思维的培养及运用

摘 要： 数学思维能力是学习数学的核心能力，逆向思维是数学思维中一个重要表现形式，在数学基础知识和解题方法中发挥着不可替代的作用。教师在小学数学教学中要充分挖掘教材中的互反因素，通过训练培养学生的逆向思维能力，增强思维的灵活性、深刻性和双向性，提高分析问题能力。

关键词： 小学数学教学 逆向思维 重要性 培养方法 运用

一、培养逆向思维的重要性及意义

关于小学数学教学目的，美国学者贝克尔说：“现在不仅是培养知识和技能，而且要教会他们如何去想。”前苏联学者斯托利亚尔说：“数学就是数学思维活动的教学，不是数学理论的教学。”新课程标准明确指出：“使学生具有初步的逻辑思维能力是小学数学教学的重要目的之一。”可见数学教学应作为思维活动过程本身去教，而非把数学知识作为思维活动的结果去教。教师应当了解学生是怎样思考的，引导学生正确思考，培养和提高学生的数学能力。根据认知规律：在小学阶段，受思维水平、思维指向、生活经验等因素影响，学生思维指向多以正向为主，对逆向结构知识较难接受和理解。因此，有意识地训练逆向思维，是培养学生创造性思维能力的一个重要方面，有助于提高学生分析解决问题能力。

前苏联教育心理学家克鲁捷茨基说过：在一种逆向思路中，思想并不总是必须沿着完全相同的思路进行，而是向着相反的反向运动。①这里的“向相反的方向运动”即逆向思维。在孔企平主编的《小学数学教学的理论与方法》书中指出“逆向思维是相对于习惯性思维的另一种思维方式。”②它的基本特点是从已有思路的反方向去思考、解决问题，这种思维形式反映了思维过程的间断性、突变型和反联结性，“可以培养小学生思维的变通性和深刻性，克服由单向定势思维造成的思维刻板和僵化及不善于在新条件下独立发展新思路的不足，”③促进数学创造的产生。宋代司马光砸缸救人，就是运用了逆向思维，把一般思维的“人离开水”变换成“水离开人”。顾名思义，逆向思维的实质就是打破传统，摆脱思想束缚反思维方向地解决问题。

二、注重在教学中培养逆向思维

培养和加强学生的逆向思维是提高学生数学素养的重要方面，它有利于开发学生的创造性活动。但逆向思维能力培养是建立在熟练掌握及深刻理解顺向思维的基础上的，教师在教学中要尽可能地抓住时机训练由顺而倒的思维方法，将逆向思维意识渗透到课堂中。具体可从以下三个方面考虑：

1.形成由顺及倒的还原意识。课堂上应遵循教学内容的客观规律，把内容分成若干层次，针对每个层次设计一些教学步骤，引导学生在获取和运用知识的过程中获得符合逻辑的结论，继而根据顺向逻辑引导学生进行逆向思维。如教一年级数数，顺着数至熟练后及时引导学生倒数，在上述由顺及倒的整体性教学设计中，学生对数学知识不仅从“顺向分析”和“逆向思考”两个方面获得了全面深刻的理解，而且潜移默化地形成了还原意识，避免了思维的呆板性和片面性。

2.强化概念中“互逆”关系的理解训练。小学数学中的概念、性质、法则、公式、数量关系等一般都具有双向性的逆用，如“互为约数倍数”、“互为倒数”、“乘法和除法”、“正反比例”……表现为处于同一整体结构中的两种互逆关系。教学时除让学生理解概念及常规应用外，需有意识地挖掘数学教材中隐含的互逆因素，精心设计互逆式问题，逐步培养逆向思维意识，使学生思维处于顺向与逆向的积极活动中。这样不仅可以加深学生对公式法则等的理解和掌握，培养学生灵活运用公式的能力，还可以促使学生养成双向考虑问题的习惯。

3.从心理角度出发，改变传统教学理念。一个人的思维方式及掌握的知识量决定了个体的思维能力。对于小学生而言，所掌握的知识量是有限的，只能从思维方式入手。在小学生中，普遍存在一种畏“题”止步的现象，这种心理阻碍了小学生思维方式的正常拓展。教师在心理上应给予学生最大的支持，启发学生在解答数学问题时，如果正面求解感到困难，就从反面考虑问题、找到解题思路。其次，在学生理解掌握某一概念之后，心理状态呈现出满足感。教师应抓住时机向学生提出一些反问，引导他们从反面认识概念。改变学生的思维方式，除勉励学生开拓思维外，教师应把课堂还给学生，让学生主导学习，通过共同讨论探寻答案，既锻炼学生的自学能力，又让学生学得深刻。

逆向思维是数学学习中一种综合能力，培养和提高学生的逆向思维能力，有利于克服思维定势，增强思维的灵活性。在教学中教师应根据教学实际需要不断加强逆向思维训练，启发学生从不同方面和角度思考，形成良好的思维品质，提高思维水平，逐步形成创新思维。

三、逆向思维在解题中的运用

逆向思维在小学数学基础知识和数学解题方法教学中有着十分重要的作用，有些数学问题利用正向思维有难度时，就要利用逆向思维的分析方法，即由目标至条件的定向思考方法，从求解目标入手进行分析推理，推究由什么条件可获得这样的结果，再把这些条件看做结果，再推究由什么条件可以获得这样的结果，直至推究的条件与已知条件相符合为止。笔者总结了小学数学中有三类题型可以用逆向思维予以解决。

1.互逆关系。小学数学教学最基本的要求是计算，而混合运算是掌握计算方法上的扩展和延伸。计算题中存在着互逆关系，教学中要适时让学生正确运用所学知识进行逆向思维计算。如讲解乘法分配律，不仅要让学生正向进行练习，例（102+2）×15=100×15+2×15，而且要让学生逆向进行练习，例19×14+19×16=19×（14+16）。通过逆向练习，既可以使学生牢固掌握运算定律，提高运算能力，又能使学生巩固所学知识。

2.对应关系。对于一些较为复杂的应用题，学生很难找到，利用逆向思维找出相应的数量关系，在保持题型的基础上，改变某些条件的提法，能使问题简单化。如：甲堆煤比乙堆煤多9吨，乙堆煤比甲堆煤少1/4。甲、乙两堆煤各重多少吨？顺向思考难于解答，如果反过来想，即从逆向进行思考，问题就易解决。“甲堆煤比乙堆煤多9吨”，从反面思考就是乙堆煤比甲堆煤少9吨”，因为“乙堆煤比甲堆煤少1/4，所以乙堆煤比甲堆煤少的“9吨”，正好与乙堆煤比甲堆煤少的“1/4”对应，由此可求得两堆煤的重量。

3.等量关系。小学数学题目里往往含有等量关系，弄清它们的等量关系，有助于顺利解题。如：四个连续偶数的和是100，这四个数分别是（？摇？摇 ），（？摇 ？摇），（？摇 ？摇）和（？摇 ？摇）。解题关键是要抓住数学概念、术语，再根据等量关系假设求解。设这四个连续偶数中最小的一个偶数为X，根据题意列方程为X+（X+2）+（X+4）+（X+6）=100，这种顺向思维学生容易掌握。若对该题进行逆向分析，则其解题思路为：把100看成四个相同加数的和，根据乘法：100÷4=25。这个相同加数为25；但25是奇数；根据题意这四个连续偶数分别22，24，26和28。做逆向思维训练，可帮助学生正确理解数学概念、术语，克服学生“只要四个偶数相加的和等于100，即10+20+30+40=100”这种不切题意的思维局限，使学生感悟逆向思维的重要性。

在数学应用题教学实践中，逆向思维在小学数学中的运用有利于排除顺向思维中的困难，找到新的思路和新的方法，开拓新的知识领域，轻松解决数学问题，对于提高小学生数学学习兴趣和成绩有重要的意义。

四、结语

逆向思维是发散思维的一种，为解决问题开辟了与顺向思维截然相反的一条新思路。培养学生逆向思维能力，不仅有助于促使学生发现新知识，打破常规思维定势，更有利于学生从不同角度分析考虑问题。在数学课堂教学中教师应帮助学生理顺教材中知识点的逻辑顺序，有目的、有计划地训练逆向思维，并通过引导学生运用逆向思维解题方法求解习题，生成逆向思维意识，进而激发学生的思维兴趣，调动学生思维的主动性和积极性。

注释：

①[苏]克鲁捷茨基著.李伯黍等译.中小学数学能力心理学[M].上海教育出版社，1983：352.

②孔企平主编.小学数学教学的理论与方法[M].华东师范大学出版社，2002：161.

③陈岳.在教学中培养小学生的数学逆向思维能力[J].教学研究，2007（4）：21.

参考文献：

[1]商继宗著.中小学比较教育学[M].北京：人民教育出版社，1989：167.

[2]薛剑刚主编.小学数学心育艺术[M].长沙：湖南人民出版社，2002：223.

[3]尹晓琴等编著.教育管理及教学新思维[M].沈阳：辽宁教育出版社，2003：66.

[4]赵晓东.小学数学教学中逆向思维的培养策略[J].教育艺术，2011（1）：29.

[5]李琴.小学数学中逆向思维的培养[J].新课程学习（上），2011（2）：37-38.

[6]付吉琴.逆向思维：巧解小学数学应用题[J].新课程导学，2011（13）：42.

[7]朱淑丽.巧用逆向思维解题[J].小学教学参考：数学版，2007（1）：95.