高考数学中“1”的变形计

　　摘要： “1”是人们非常熟悉，但又很奇妙的一个数字.高中数学中“1”的应用广泛，多类高考题型都涉及了它的变形、代换.“1”是一个多面手，在不同的问题中以不同的形式表现出来.在解题中灵活运用“1”，对攻克高考题，提高解题能力，培养解题思维和方法都有益处.
　　关键词： 高考数学“1”变形
　　
　　高考数学中有关“1”的变形的题型很多，常有不同的解题方法.若能灵活运用“1”的变形，往往就会收到事半功倍的效果，提高解题效率，激发学生的学习兴趣，引发学生探索知识的热情.常见的“1”的变形有①a■=1，log■a=1（a＞0且a≠1）；②lg2+lg5=1；③tan45°=1；④sin■θ+cos■θ=1，等等.
　　一、“1”在指、对数中的应用
　　例1.求函数y=■的定义域.
　　解：由log■x-1≥0得log■x≥1.因为1=log■2，所以log■x≥log■2.
　　而函数y=log■x在（0，+∞）上是增函数，所以x≥2.
　　又x＞0，所以函数的定义域为［2，+∞）.
　　变形计1：本题利用log■a=1（a＞0且a≠1）的变换作用，将对数不等式化成同底的形式，进一步利用函数单调性求解即可.
　　例2.设a=0.2■，b=0.3■，c=log■0.2，试比较a，b，c的大小.
　　解：因为0＜a=0.2■＜0.2■=1，b=0.3■＞0.3■=1，c=log■0.2＜log■1=0，
　　所以c＜a＜b.
　　变形计2：本题充分展现了a■=1的变形功能，即成为比较两数大小的中间量，好比一座桥梁发挥了其媒介作用.
　　例3.化简求值：（lg5）■+lg2·lg50.
　　解：原式=（lg5）■+lg2·（lg5+1）=（lg5）■+lg2·lg5+lg2
　　=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1
　　变形计3：利用lg2+lg5=1的特殊性，在化简中不断提取公因子，得出最后结果.
　　二、“1”在三角函数中的应用
　　例4.化简求值：■
　　解：原式=■=tan（45°+15°）=tan60°=■
　　变形计4：本题利用tan45°=1的变换，结合两角和的正切公式，将复杂问题简单化，言简意赅，最终利用特殊角的三角函数值求出结果.
　　三、“1”在不等式中的应用
　　例5.已知x，y为实数，x＞0，y＞0，且x+2y=2，求■+■的最小值.
　　解：因为x+2y=2，所以■（x+2y）=1，所以■+■=■（x+2y）（■+■）=■（3+■+■）≥■（3+2■）（当且仅当■=■即x=■y时等号成立），所以■+■的最小值为■（3+2■）.
　　变形计5：本题表面上看不方便用基本不等式，但仔细观察就能发现利用“1”的代换化简后，可以很顺利地用基本不等式解决问题.
　　四、“1”在数列中的应用
　　例6.已知?坌x∈R，f（x）+f（1-x）=2，求S=f（0）+f（■）+f（■）+…+f（■）+f（1）.
　　解：因为x+（1-x）=1时，f（x）+f（1-x）=2，且0+1=■+■=■+■=…=1，
　　所以2S=［f（0）+f（1）］+［f（■）+f（■）］+…+［f（1）+f（0）］=2（n+1），故S=n+1..
　　变形计6：本题观察到函数恒等式f（x）+f（1-x）=2中自变量取值之和为1，得出所求和中首末两项和为定值2，结合数列的倒序求和法，合并求解.
　　五、“1”在概率中的应用
　　例7.甲乙丙三人参加射击练习，已知三人命中的概率分别为■，■，■假如在相同情况下每人射击一次，并且互不影响，求甲乙丙至少有一人命中的概率.
　　解：记甲乙丙命中的事件分别为A，B，C，甲乙丙至少有一人命中为事件D，则P（D）=1-P（■ ■ ■）=1-（1-■）（1-■）（1-■）=■.
　　变形计7：本题充分利用了对立事件概率之和为“1”的性质，当直接考虑情况较多时，正难则反，考虑其对立事件的概率，再代入公式解之.
　　六、“1”在解析几何中的应用
　　例8.已知P为椭圆■+■=1上的一点，求P到直线l:x+y-6=0的最短距离.
　　解：因为P为椭圆■+■=1上的一点，所以可设P点坐标为（4cosα，3sinα）.
　　所以P到直线l的距离d=■=■（其中tanφ=■）.
　　当sin（α+φ）=1时，|5sin（α+φ）-6|■=1，所以距离d的最小值为■.
　　变形计8：本题方法不唯一，但是利用sin■α+cos■α=1中“1”的三角变换作用，将解析几何中的距离问题转化为三角函数的最值问题进行求解，避免了复杂的圆锥曲线中的坐标运算.
　　“1”是一个多面手，在不同的高考知识点中有不同的表现形式.只要认真观察、体会，充分挖掘和灵活运用“1”的变形，就可以巧妙、快速地得出结论.通过上述例题的分析，我们对“1”的应用有了一定的体会，但是高考数学中涉及“1”的题目类型并不止这些，值得我们不断探索、钻研和归纳.
　　
　　参考文献：
　　［1］朱凯，李虹．数学中“1”的妙用［J］．内江科技，2011.06.
　　［2］李毅.浅谈高中数学中“1”的妙用［J］.中学生数理化:学研版，2012.10:44-44.
　　［3］张学宪主编.优化方案（数学）［M］.现代教育出版社，2012.