让问题真正成为数学教学的“心脏”
2013-12-29刘晓静
新课程提倡问题探究.在高中数学教学过程中，要想有效地进行问题探究，挖掘与提升数学问题的探究价值是一个重要的方面，下面笔者谈谈体会.
1.大胆设问，在知识形成时留下探究空间
在运用这些情境时，我们可以大胆设问，为知识的形成留下悬念，以提升问题情境的探究价值.
案例1：平均变化率（苏教版课标教材选修2-2第1.1.1节）
教材中提供了如下“气温陡增”的情境：
世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼，请看下表.
某市今年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日最高气温分别为22.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增了14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市今年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，发现两者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却没有发出上述感叹，这是什么原因呢？
我校一位公开课老师是这样运用这个问题情境的.
师：除了用表格外，还有什么数学工具能直观地反映上述气温的变化情况呢？
众生：图像.
师：很好！下面我们试着把这个图像作出来.引导学生作图（如图1所示），过程略.
从图像中我们的确可以直观地看出，曲线段AB相对平缓，而曲线段BC比较陡峭.下面我们需要研究的问题是：能否从数量关系上刻画曲线的“陡峭”程度呢？请大家先自己思考，然后小组讨论后再发表意见.
（约2～3分钟后，学生发言.）
生1：看AB、BC这两段上的“天平均变化温度”.
生2：连接AB与BC，比较这两条线段的斜率.
（以下略）
该片段中，学生能从数和形两个不同的角度提出2FsM692Bt34pklfoHxAFftzBRkUBoUUi60kKDfgAaJ0=解决问题的方案，通过运算学生就不难发现这两者的本质是一致的，在此基础上再来建构平均变化率的概念显得自然而合理.该教学片段的成功之处就在于教师大胆地抛出了问题，并放手让学生来探究.
2.子题导引，在解题教学中铺下探究之路
有针对性地设计几个子问题来引导学生挖掘题目的隐含条件、沟通条件与结论的联系、揭示问题的本质或者进行必要的拓展与引申等.
案例2：不等关系（苏教版课标教材必修5第1.1.1节）
教材对这节课的设计思路是通过具体情境中的三个问题，引导学生对问题中包含的数量关系进行分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式，本节课的难点就是建立相关的数学模型.请看教材中的例3：
下表给出了X、Y、Z三种食物的维生素的含量及成本：
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设X，Y这两种食物各取xkg、ykg，那么x、y应满足什么关系？
在我校青年教师评优课上，一位老师在分析这道例题时设计了以下子问题让学生来思考与探究：
问题1：食物Z取多少kg？此时食物X、Y、Z分别含维生素A、维生素B各多少单位？
问题2：如何将混合食品中有关维生素含量的要求用数学式子表示出来？
问题3：你能将相应的成本表示出来吗？
问题4：如果你是该食品厂的经理，你准备如何来配制这种食品？（留给大家课后探究.）
只要回答出这四个子问题，不仅原问题自然地得到了解决，而且能有所拓展.这节课之所以能获得一致好评，应该归功于他对每一道例题所设计的子问题.
3.类题剖析，在“错题”讲评中踩下探究的脚印
在错题讲评课上，设置容易混淆的类题让学生来探究是剖析错因的一个有力手段.
案例3：（苏教版课标教材必修3第3.4节例3）
黄种人群中各种血型的人所占的比例如上表所示：
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
（2）任找两个人，当中至少有一个人的血可以输给小明的概率是多少？
笔者在讲评这道试题时，首先给出了下面两道形似质异的题目：
题1：小明因病需要输血，已知小明是B型血，现有100人可供输血，其中A、B、AB、O血型的人分别有28、29、8、35人，从中任选2人，求至少有一个人的血可以输给小明的概率是多少？
题2：小明因病需要输血，小明是B型血，已知在黄种人群中任选一人，其血型为A、B、AB、O型的概率分别为0.28、0.29、0.8、0.35，现从中任选2人，求至少有一个人的血可以输给小明的概率是多少？
课上，通过对这两道类题的比较与剖析，让学生自己探究出了答错试题的原因；接着我们大胆地提出一个猜想：题2的条件提供的是概率，就相当于提供了无穷多人可供输血；最后我们又从函数的单调性及极限这两个角度验证了该猜想，进而找到了这两道题之间的联系.如此讲评错题，学生不仅知道该怎么做，而且知道为什么要这样做.
