图像的多尺度几何分析及其应用

摘 要：小波分析联合时间-尺度函数分析非平稳信号，从根本上克服了Fourier分析只能以单个变量描述信号的缺点，然而小波对于信号高维奇异性的几何特征并不能够稀疏的表示。多尺度几何分析理论提供了线性奇异和面性奇异的高维函数的最优表示。本文主要综述性的介绍了多尺度几何分析的产生及发展，重点介绍了shearlet的算法，与其在边缘检分析中的应用，并展望多尺度几何分析的发展方向。

关键词：傅里叶变换 小波变换 多尺度几何分析 shearlet 边缘分析

中图分类号：TP391.41 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）04（a）-0012-02

生物学家对人类视觉系统的研究结果表明，人类视觉系统能自动调节以使用较少的视觉神经细胞来捕捉自然场景的本质信息，在图像表示中，如果图像的表示方法有如下的五个特性，则能达到图像的最优表示[1]。

（1）“多分辨率”，使图像从低分辨率到高分辨率逐步的逼近目标，即带通性。（2）“局域性”，在空域和频域，我们所选择的基函数必须是局部的，并且能随尺度变化。（3）“临界采样”，具有较低的冗余结构。（4）“方向性”，用长条形的图形逼近曲线，并且使用最少的系数逼近奇异曲线。（5）“各向异性”，基的长条形结构实际上是方向性的一种体现，并且这种长条形的长度宽度比例不同，能处理图像边缘轮廓的平滑性。

小波分析因为没有“方向性”和“各向异性”只有其它三种特点而导致不具有对具有线性奇异和面奇异特点的高维函数最稀疏的表示[2]。寻找更有效的奇函数，发展一种新的高维函数的最优表示方法势在必行，多尺度几何分析（Multiscale Geometric Analysis MGA）[3]方法便应运而生了。多尺度几何分析能满足上述图像有效表示的所有条件，在图像分析中获得了较大成功，体现出了一定的优势和潜力[4]。目前，多尺度几何分析工具主要有主要包括Ridgelet[5]，Curvelet[6]，Beamlet[7]，Contourlets[8]，Directionlet[9]，Shearlet[10]等。

1 Shearlet变换

Shearlet因其良好的多分辨性和多方向分解特性，使得它可以对图像进行灵活的多分辨和多方向分解，对图像中的边缘和纹理等细节信息能给出接近最优的表示性能，是一种更为灵活的数字图像表示方法。shearlet的构造方法为[10]。

令满足以下三个条件。

（1），其中，为的傅里叶变换；

（2）为连续小波，，；

（3）且，在区间上，且；

则称由，以及所生成的下列系统：

为shearlet系统，为shearlet的基函数，其中，分别为各向异性膨胀矩阵和剪切矩阵。则剪切波波变换定义为：

2 Shearlet变换在图像边缘中的分析

边缘检测和分析是多种图像处理和计算机可视应用程序的主要任务。事实上，由于边缘通常是自然图像最突出的特征，因此边缘的定位对于更高级别的应用程序来说是基本的低级任务，例如形状识别、3D重现、数据增强和恢复等。

边缘可以看作是函数的一些点，的定义域为，的梯度很大，即：

其中是某个适当选择的阈值。很显然，这种对边缘的表示方法太简单，并不能直接地转化为一种有效的边缘检测机制，这是因为图像通常会被噪声影响且微分算子对噪声极其敏感。因此，为了密切注视噪声的干扰，在大多数常见的边缘检测机制中，图像首先会被处理得平滑。例如，在经典的Canny边缘检测算法中，首先用可度量的高斯函数对图像进行卷积为：

×

其中且。其次，边缘点被标识为的梯度的轨迹最大值。注意，这种方法引入了一个定标参数，当减小时，边缘定位的检测变得更加精确；然而，当减小时，检波器也会变得对噪声更加敏感。因此，边缘检波器的性能极为依靠定标（也有阈值）。

在边缘检测和小波分析之间有个有趣而有用的关系，这个关系首先被Mallat，Hwang和Zhong发现，可以总结如下：给定一个图像，可容许的实偶函数的连续小波变换表示为：

×

其中，特别地，如果，那么：

××

这表明了平滑图像的梯度的最大值正好与小波变换的最大值相一致。这个发现提供了一种自然的数学框架用于边缘的多尺度分析[11]。

以上描述的Canny边缘检波器或小波方法的主要限制是两种方法在本质上都是各向同性的。因此，它们在处理边缘的各向异性时不是很有效率。精确地标识边缘位置是特别困难的，这是由于噪声的存在以及当几个边缘靠得太近或者彼此交叉的时候，例如三维物体的二维投影。在这些案例中，以下传统边缘检波器的局限性特别的明显。

（1）辨别靠近的边缘存在困难。各向同性的高斯滤波导致边缘紧靠在一起，模糊成一条单个曲线。

（2）粗劣的角度准确性。在曲率或者交叉曲线的形状突变中，各向同性的高斯滤波导致边缘方位的不精确检测。这会影响拐点和结点的检测。

为了更好的处理边缘信息，引入了很多方法来代替各向同性的高斯滤波器，例如易操纵的、可伸缩尺度的各向异性高斯滤波器：

其中且是旋转角度的矩阵。不幸的是，这种滤波器的设计和执行需要计算，但却没有理论方法来说明如何设计这种滤波器来最好地捕捉边缘。

Shearlet架构具有这样一种优势，即它可以提供已被证明了的数学方法来有效地描绘边缘信息。事实上，连续的shearlet变换可以通过对边缘的渐近线进行良好的缩放来精确地描述边缘的几何学信息。结果可以归纳如下。

设图像是在的分段光滑函数。也就是说，假设在上的任意处都是光滑的，除了在有限多的分段光滑曲线上以外，用Γ表示有限多的分段光滑曲线，在中可能会有跳跃不连续点。则函数的连续shearlet变换的渐近线衰减特性如下[12]：

·如果，则对于每个，当时快速衰减。

·如果，是近且光滑的，则对于每个，当时快速衰减，除非是在点的标准方位。

·如果是的拐点且和是在点的标准方位，则当时对于所有其他方位来说，的渐近线衰减更快一些。

这里用“快速衰减”，意思是说对于任意，有某个使得当≤，时。

同时也观察到脉冲类型的奇点与跳跃不连续点在连续shearlet变换的衰减是不同的。例如，假设一个中心在的Dirac增量分布。本例中，一个简单的计算公式[12]表示为：

as

也就是说，在时的连续shearlet变换增长了。时衰减是迅速的。

以上这些理论表明了连续的shearlet变换精确地描述了边缘和图像的其他奇异矩阵点的几何信息。这与小波变换形成了对比，小波变换不能提供边缘方位的任何信息。因此，shearlet对于图像的边缘方面，有着更精确地描述。

3 结语

图像的应用越来越广泛，现代科技发展了一种“新”的多维工具，能够捕捉图像几何结构特征，多尺度几何分析技术，就是根据这些要求而发展起来的新理论，其中shearlet变换在图像去噪，去模糊，边缘的定位分析方面都有着优势，但由于仍处于发展初期，有许多理论基础、应用潜能和仿真的结果证明尚待开发和完善。

参考文献

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[12]G.Kutyniok and D.Labate，Resolution of the wavefront set using continuous shearlets，Trans. Amer.Math.Soc.361（2009），2719-2754.