抛物线焦点弦性质的探究

摘 要：对抛物线焦点弦的性质进行系列探究，推导并归纳出12个性质，对抛物线的定义、直线方程、根与系数的关系和平面几何等知识的综合应用，考察数形结合的数学思想的题目和相应客观题，提高思维起点，迅速求解。

关键词：抛物线 焦点 弦 性质 直线 方程 相切

中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）07（c）-0178-02

平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.由于抛物线定义的特殊性，使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出，同时也是高考中经常要考查的热点内容。下面笔者就抛物线焦点弦的性质进行一系列探究，请各位方家不吝赐教。

若抛物线的焦点为F，过点F倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点（如图1），

证明：如图6，由导数知识可得曲线，在处切线的斜率为，所以过点A的切线方程为。

D是M，N的中点，则，由性质1可知，，所以，经检验，D点坐标满足切线方程。

所以直线DA与抛物线相切，同理可得直线DB也与抛物线相切。

注：（1）过抛物线上一点的切线方程还可写成。

（2）利用性质12就可以解释抛物线的光学性质。连接DA并延长到P点，过A作，则AQ为法线，如图6，在圆内接四边形AMDF中，，而，所以，而，所以，。若PA为入射光线，则AF为反射光线。所以当一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线反射交于焦点；根据光线的可逆性，从焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的轴.

上述结论如果能够理解掌握、灵活应用，对于那些重在考察抛物线的定义、直线方程、根与系数关系和平面几何等知识的综合应用题目，考察数形结合数学思想的题目和相关客观题的处理，均可以提高思维起点、拓展思路，并迅速求解。

参考文献

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[2]秦俭.圆锥曲线中典型的定点和定值问题[J].中学数学，2012（6）：38-39.

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