寻找二面角的平面角的方法

摘 要： 二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点.学生常感到无从下手是因为没有掌握寻找二面角的平面角的方法.寻找二面角的平面角的实质其实就是找一个平面与交线垂直.

关键词： 二面角 平面角 交线 垂直

二面角是高中立体几何中的一个重要内容，广东理科数学高考从2010年开始连续4年都考了求二面角的平面角，这个内容也是一个难点.对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法.

在教学中我试过把寻找二面角的方法分成：定义法、三垂线法介绍给学生，但学生掌握得并不好。特别是三垂线法，因为并不要求学生掌握三垂线定理，学生对这个定理感到非常陌生，更别提应用了.于是我换了种方式教授，课本上是这样定义二面角的平面角的：以二面角的棱上任意一点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.由定义可得两射线所确定的平面与棱垂直，也就是说找二面角的平面角可从找交线的垂面入手，即找两条相交直线与交线垂直.学生听我这一讲立即就来劲了，说：“这简单.”

我立即用了几道题检验，学生感觉容易多了.

例1：（广东高考2011年18题）如图1，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点，

（1）证明：AD⊥平面DEF；

（2）求二面角P-AD-B的余弦值.

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解：（1）证明：设AD中点为H，连接PH，BH，

∵PA=PD，∴PH⊥AD，AH=，AB=1，∠DAB=60°

可得出BH==，

从而AH+BH=AB，

∴AH⊥HB，即AD⊥HB，

∴∠PHB就是面角P-AD-B的平面角.

以下求解略.

高考结束后，学生反映：开始时第（1）小题不会做，只能先做第（2）小题，在做第（2）小题的过程中，发现PH⊥AD，AD⊥HB，所以AD⊥平面PHB，从而把第（1）小题也解决了.

例2：如图3，已知正三棱柱ABC-ABC的底面正三角形的边长是2，D是CC的中点，直线AD与侧面BBCC所成的角是45°，求二面角A-BD-C的正切值.

分析：因为直线AD与侧面BBCC所成的角是45°，所以学生都会在第一时间找直线AD与侧面BCCB所成的角，由正三棱柱的性质可知：面ABC⊥面BCCB，AB=AC.学生首先取BC中点E，连接AE，可证得AE⊥平面BCCB，所以AE⊥交线BD.在图中再也找不到第二条直线与BD垂直了，于是学生想到了作辅助线，而这条辅助线应与AE相交，所以有的过E作EF⊥BD，连接AF，有的过A作AF⊥BD，连接EF（如图4），都可证得BD⊥平面AEF，可得∠AFE到就是二面角A-BD-C的平面角.学生解题思路一下子就打开了.

例3：如图5，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点.

（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；

（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.

求解此题的第（3）小题时，若从定义入手，则在平面BQC中显然找到QD⊥QB，在平面QBM中很难找到一条直线与QB垂直.但若先找BQ的垂线，由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥BQ（由第（1）小题证得），可得BQ⊥平面PAD，所以BQ垂直平面PAD内任何一条直线，即PA⊥BQ，第（2）小题曾证明PA∥MN（如图6），也就是说BQ⊥NM，所以AD与PA所成的角∠PAD=60°（因为PA=PD=AD=2）即为所求.

找二面角的平面角的实质就是找两条相交直线与交线垂直，这种方法的好处在例3中更能体现出来.

通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法比较容易.只要抓住问题的本质，关于二面角的平面角的问题就能迎刃而解.

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修2.人民教育出版社.