一道几何题引发的思考

题目[1]：如图1所示：两个重叠的等边三角形，△ABC与△ADE以A为旋转中心，逆时针旋转40°.

（1）求∠DAC的值；（2）连接AH时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与AH垂直平分的线段？

解：（1）因为△ABC与△ADE为等边三角形，

所以∠DAC=60°-40°=20°.

（2）连接CD，则有：

∠ACD=∠ADC，∠ACH=∠ADH=60°

∴∠HCD=∠HDC

∴CH=DH

∴AH垂直平分线段CD

连接EB

∵∠ABE=∠AEB，∠AEH=∠ABH=60°

∴∠HEB=∠HBE

∴EH=BH

∴AH垂直平分线段EB

提问1：当旋转角为α（0<α<60°）时，会有怎样的结论？

回答：当旋转角为α（0<α<60°）时，（1）∠DAC=60°-α，（2）AH垂直平分线段CD和EB.

证明：如图2，

（1）因为△ABC与△ADE为等边三角形，

所以由图知：∠DAC=60°-α.

（2）证明：同原题中（2）的证明.

（1）因为△ABC与△ADE为等边三角形，

所以由图知：∠DAC=60°-α.

提问2：对于正方形而言，旋转角为α（0<α<45°）时，会有怎样的结论？

回答：当旋转角为α（0<α<45°）时，（1）∠CAF=α，（2）AH垂直平分线段CF和EG.

证明：如图3，

（1）由图3知：∠BAC=∠FAG=45°

所以∠CAF=90°+α-45°-45°=α

（2）连接CF

∵AC=AF

∴∠ACF=∠AFC，∠ACH=∠AFH

∴∠HCF=∠HFC

∴HC=HF

∴AH垂直平分线段CF

连接DE

∵AE=AD

∴∠AED=∠ADE

∴∠AEH=∠ADH

∴∠HDE=∠HED

∴HD=HE

∴AH垂直平分线段DE

由提问1和提问2知，原题中的结论是否成立与图形的边数是奇数还是偶数有关.

命题1：两个重合的正n边形，AA…A和AB…B，以A为旋转中心，逆时针旋转α（0<α<），

（1）当n为奇数时，∠AAB=-α，且AH垂直平分线段AB和AB；

（2）当n为偶数时，∠AAB=α，且AH垂直平分线段AB和AB.

证明：（1）如图4，

作点A的所有对角线，将∠AAA分成（n-2）个度数为的小角，旋转角α.

由图知，∠AAB=-α-=-α

连接AB

∵n边形A…A与A…B全等

∴AA=AB

∴∠ABA=∠AAB，∠ABH=∠AAH

∴∠HBA=∠HAB，即BH=AH

∴AH垂直平分线段AB

连接AB

∵n边形A…A与A…B全等

∴AA=AB

∴∠ABA=∠AAB，∠ABH=∠AAH

∴∠HBA=∠HAB，即BH=AH

∴AH垂直平分线段AB

（2）如图5，

作点A的所有对角线，将∠AAA分成（n-2）个度数为的小角，旋转角α.

由图知，∠AAB=+α-=α

连接AB

∵n边形A…A与A…B全等

∴AA=AB

∴∠ABA=∠AAB，∠ABH=∠AAH

∴∠HBA=∠HAB，即BH=AH

∴AH垂直平分线段AB

连接AB

∵n边形A…A与A…B全等

∴AA=AB

∴∠ABA=∠AAB，∠ABH=∠AAH

∴∠HBA=∠HAB，即BH=AH

∴AH垂直平分线段AB

命题2：两个重合的正n边形，AA…A和AB…B，以A为旋转中心，逆时针旋转α（α>）.

（1）当n为奇数时，∠AAB=α-，且AH垂直平分线段AB和AB；

（2）当n为偶数时，∠AAB=α，且AH垂直平分线段AB和AB.

证明：（1）如图6，

作点A的所有对角线，将∠AAA分成（n-2）个度数为的小角，旋转角α.

由图知，∠AAB=+α-=α-.

证明：AH垂直平分线段AB和AB过程同命题1中证明AH垂直平分线段AB和AB过程.

（2）如图7，

证明过程同命题1中（2）的证明过程.

以上讨论，经历了由简单到复杂，具体到抽象的完整过程，不仅加深了我们对这道题的认识，更重要的是体会了探究解题的方法和乐趣.

参考文献：

[1]曲一线.初三《三年中考五年模拟》.教育科学出版社，2012，10.