一道课本例题的变式与拓展

全等三角形是学习几何的基础，近年来的各类考试中，很多命题人通过对三角形有关边与角的条件或结论的变化与拓展，使试题的背景、形式等发生变化，这些题目往往能在课本例题或者习题中找到原型，现就人教版《数学》八年级上册第40页中的例3进行拓展。

课本例题 如图1，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，∠B=∠C，求证：△AEB≌△ADC。

分析 由图形可知，∠A为公共角，由AB=AC，∠B=∠C，即可证明△AEB≌△ADC。

证明 在△AEB和△ADC中，

因为∠A=∠A， AB=AC，∠B=∠C，

所以△AEB≌△ADC。

点评 本题借助“ASA”判定两三角形全等，解题的关键是发现图中的公共角。

变式1 如图2，已知：AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E。

（1）求证：AD=AE；

（2）如图3，连接OA、BC，试判断直线OA、BC的关系并说明理由。

分析 根据“AAS”的判定定理可证明△ADC≌△AEB，进而继续探究直线OA、BC的关系，由条件及已证结论可得△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判断出OA是∠BAC的平分线，即OA⊥BC。

解 （1）证明：在△ACD与△ABE中，

因为∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，

所以△ACD≌△ABE。

所以AD=AE。

（2）互相垂直。

在Rt△ADO与Rt△AEO中，

因为OA=OA，AD=AE，

所以△ADO≌△AEO，

所以∠DAO=∠EAO，

即OA是∠BAC的平分线。

又因为AB=AC，所以OA⊥BC。

点评 本题在课本例题图形的基础上，将条件∠B=∠C去掉，添加条件CD⊥AB于D、BE⊥AC于E，形式虽然变化，但解题方法、思路不变，通过连接AO，使背景与条件形式发生很多变化，要求我们重新思考与探究解题思路。

变式2 如图4，AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点，求证：∠B=∠C。

分析 根据中点的定义可知，AD= AB、AE= AC，可知AD=AE，根据SAS可证明△AEB≌△ADC。

证明 因为点D、E分别是AB、AC的中点，

所以AD= AB， AE= AC。

因为AB=AC，所以AD=AE。

在△AEB和△ADC中，

AB=AC，∠A=∠A，AD=AE。所以△AEB≌△ADC。

所以∠B=∠C。

点评 本题把课本例题中的∠B=∠C去掉，改为点D、E分别是AB、AC的中点，但证题思路、方法未发生变化。此类变形题目有助于提升与训练同学们的解题思维能力。

变式3 如图5，△ABC的高BD、CE相交于点O，请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD=CE。你所添加的条件是 。

分析 由△ABC的高BD、CE相交于点O，可得∠BEC=∠CDB=90°，又要使BD=CE，只需△BCE≌△CBD，根据全等三角形的判定定理与性质，即可求得答案。

解 此题答案不唯一，如∠DBC=∠ECB或∠EBC=∠DCB 或AB=AC或BE=CD等。

因为△ABC的高BD、CE相交于点O，

所以∠BEC=∠CDB=90°。

因为BC=CB，

要使BD=CE，只需△BCE≌△CBD。

当BE=CD时，利用HL即可证得△BCE≌△CBD；

当∠ABC=∠ACB时，利用AAS即可证得△BCE≌△CBD；

当∠DBC=∠ECB时，也可证得△BCE≌△CBD；

当AB=AC时，有∠ABC=∠ACB，也可证得△BCE≌△CBD。

点评 本题在课本例题及变式题的基础之上，以开放条件的方式设置问题，有助于训练同学们对条件的准确把握及全等三角形的判定方法的应用。