高中数学试卷讲评的“四步曲”
2013-12-29郭建华
试卷讲评是高中数学教学的一个重要环节，它是以分析学生考试总体情况为基础，以纠正学生考试中存在的普遍问题、弥补教师教学中的遗漏为手段，以拓展学生的思维、提升学生的解题能力为目的的一种课型。通过试卷讲评，要让学生找到错误的根源，纠正错误的解法，更为重要的是通过对错误的分析来培养学生分析问题解决问题的能力。怎样才能上好数学试卷讲评课，又怎样通过这种课型让学生解题技能有所增强、解题思维有所突破，这不仅是青年教师关注的课题，也是经验丰富的老教师予以思考的问题，因此对试卷讲评提出了更高的要求。现结合自身的教学实践，通过“析”、“讲”、“变”、“思”四步谈谈笔者的一些做法。
一、析
在没拿到学生的答题卷时，精心备课是做好系统分析试卷的前提，教师只有认真细致地解答试卷，才能对试卷有一个整体的把握，在此基础上全面透彻地分析试卷结构，考察范围，知识点分布状况，考察的重点、难点以及对数学思想方法、教学能力的要求。教师根据自己备课的情况还要对自己所带班学生的答卷情况作出预测，学生对哪些知识、方法应该掌握得较到位，哪些方面会存在问题，哪些知识点需要学生在后续的学习中进一步地巩固、充实和完善等，并将这些预测和学生的答卷情况结合起来，这样才能更有效地整体把握学生的答卷情况，准确评判学生在试卷中的得与失。
在拿到学生的答题卷时，教师应及时整理学生的试卷，准确收集有价值的卷面信息，对学生的试卷全面统计分析，其内容包括班级总体情况、学生答题情况、试题统计情况等。班级总体情况统计包括平均分、及格率及各分数段的人数；学生答题情况统计是指每题的情况和得分率，明确标出是哪个同学出错的，落实到具体的个体；试题的统计是指试题的难易程度，统计基础题、常规题、提高题的得分情况。通过对数据的统计分析，总结学生在基础知识、解题的基本技能和解题的思想方法上存在的误区等共性错误，具体表现为因概念、定义、定理、公式等理解不到位的有哪些，因审题不清、误解题意、解题程序混乱的有哪些，因解题方法不合理并导致思维受阻的有哪些，因解题粗心大意、只追求速度、无检查意识的有哪些，因对考试成绩要求过高、心理紧张导致错误的有哪些，因解题不规范而失分的有哪些等学生的共性错误。同时也要关注少数学生所犯有的特殊错误，为课后开展个别辅导做好准备，做到有的放矢。还要分析学生试卷上所使用的各种解题方法，在评讲试卷时使资源共享。学生出现的这些错误可以作为我们研究试卷讲评课的一种宝贵的资源，为教师讲评试卷时做到有针对性，重点突出，详略得当做好准备。
通过以上的统计教师可以挖掘出教与学的薄弱环节、存在的问题，然后对学生的错误进行归类，弄清错误的原因，并将试卷及时发下去，先让学生自行订正，这样为试卷的讲评创设一个良好的平台。
二、讲
讲是试卷讲评课的一个核心部分，讲是讲究方法和策略的，如一张试卷里的题目可能涉及到的知识是同个内容的不同方面，或者考察不同知识点的同一个方面，如果教师就题论题，孤立地讲，不仅浪费时间，而且效率低。因此，教师可以把这些相关联的题目和知识点有机地整合到一起来讲，采用相同知识点归一，不同知识点对比的方法讲解，以点带面，形成一个经纬交织、融会贯通的知识网络，这样有助于学生全面、系统地理解知识间的纵横联系，形成新的认知结构。所以笔者认为应注重以下几个方面的讲评。
1.讲错题
学生在解题过程中出现错误是正常的，解决问题的关键是对学生的答题情况做一个全面深入的了解分析，弄清哪些是典型的错误，哪些是一般的错误，哪些是必然的错误，哪些是偶然的错误，哪些是由知识缺陷或能力有限等造成的错误，教师要采取有选择、有侧重点的讲解。每次笔者都会认真收集学生典型解题错误，用照相机拍下来，在课堂上展示，让学生分析错在哪儿，为什么出现这样的错误，多找几位同学说说自己的见解，同时教师补充，让学生在辩证与批判的过程中学会分析问题和解决问题。这样能激发学生的求知欲，同时也为学生提供一个思维的空间和展示的平台，使平淡的试卷讲评课变得精彩和有效，为学生的后续学习打下基础。
2.讲方法
数学教学应建立在数学思想方法感悟及应用的基础上，学生掌握了数学思想方法，就能从整体和本质上把握数学，进而优化学生的思维品质。数学思想方法既蕴含于知识产生、发展、应用的过程中，也蕴含于教学之中，是知识向能力转化的得力工具。江苏省高考考试说明中指出注重对中学所蕴涵的数学思想方法的考察，因此，教师在试卷讲评课中应加强数学思想方法的教学意识，在制定教学目标时应重视数学思想方法的渗透，在数学解题教学中引导学生体会数学思想方法，解题后要提炼数学思想方法。
课堂上教师应当把试卷上的知识讲到位，让学生真正理解所考察的知识、方法，还要引导学生分析挖掘解题中所蕴含的数学思想方法，引导学生探究解题思路，进而发现解题方法。教师应想方设法激活学生的思维，评讲过程中以学生为主线，把学生融入整个解题过程中，鼓励学生独立思考，让学生亲身去体验，成为探究问题的主体。每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，因此，在数学课堂教学中更应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效，从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力。请欣赏下面一个案例。
例1 求函数y=■（0 教师教学时，不直接讲解求解过程，而是引导学生共同思考，探求解决问题的思路，启发学生多角度、多层次地去思考，达到求解的目的。引导学生从函数式的结构上切入，对函数式进行不同的变形会得到不同的解题方法。 解法一 解析法。将式子合理变形赋予它特有的几何意义，y=■（0 解法二 向量法。让学生插上联想的翅膀，由变形的结果想到向量的数量积公式，由题意知y>0，原函数式可化为cosx+ysinx=2，设■=（cosx，sinx），■=（1，y），由|a·b|≤|a|·|b|，得|cosx+yxinx|≤■·■，故2≤■，解之得y≥■。当■与■共线时，即ycosx-sinx=0取等号，此时y=■=■，解之得x=■，故y∈[■，+∞）。由上面的恒等变形cosx+ysinx=2，可联想到三角函数的有界性，故得到如下的解法。 解法三 三角法。由y=■（0 在试卷讲评中教给学生智慧就是教给学生思想方法，数学知识是基础，数学方法是手段，数学思想是本源，因此，教师在讲解的过程中要注意对解题方法和策略的点播。 3.讲技巧 解题技巧可以使我们解题更准确、高效。对具有知识面广，概括性强，小巧灵活，又有一定的深度的题目，教师在讲评时，首先对题目信息进行整合，先用通性通法求解，如果求解比较烦琐时，再引导学生如何打破常规的思维方式，寻求独特的求解方式，特别是小题，应该提倡小题小做，讲评时重在分析怎样培养这种技巧意识。笔者认为能定性判断的就不要定量计算；能用特殊值来判定的，就不要选用常规的解法；能用间接法求解的，就不要用直接法等。对学生进行有效地引导，帮助学生研究解题的技巧和策略，在解题过程中不断地总结经验，深化学生的理性思维，培养学生分析问题、解决问题的能力，如下案例可以体会其中的解题技巧。 例2函数f（x）=■（0≤x≤2？仔）的值域是__________。 （A）[-■，0] （B）[-1，0] （C）[-■，0] （D）[-■，0] 解析：特殊值法。令sinx=0，cosx=1，则f（x）=■=-1，淘汰A，令■=-■，得cosx=■，当sinx=-1时，cosx=■，所以矛盾，故f（x）≠■，淘汰C，D，所以答案选B。 在已知的关系中，取变数的特殊值，可使抽象的问题具体化，便于发现解题的突破口，所以在以后的解题中要适时地培养学生对解题技巧的应用意识。 4.讲规范 解题规范的要求是指在解答数学题目时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。更重要的是教师的讲评书写过程要做到规范，要给学生留下好的第一印象，否则学生会受到教师的影响，再去纠正是很难的。为加强学生的书写规范意识，可以找几份学生的试卷来投影，点评学生答题的规范程度及得分情况，让学生予以重视。讲解答题规范要注意两点：首先，正确组织答案是得分的关键，告诉学生怎样书写得分点，作答时把握答题的方向性，确保答案的逻辑性，注意答案的全面性，笔者一向提倡学生在解解答题时遵循这样一个原则：分步写，详细写，利用已知题设条件环环相扣指向要求问题。其次，书写准确是得分的保证，现在实行网上阅卷，这使书写显得尤其重要了。因此，课下还要求学生在答题卷上把出错的题写出它的规范过程，这样可以引导学生思维问题有序、流畅，形成一种良好的思考问题的习惯，从而提升学生的数学成绩。 三、变 数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。不能解完题就此罢手，如释重负。应该进一步思考，探求一题多解，多题一解的问题，开拓思路，沟通知识，掌握规律，权衡解法优劣，应更高层次、更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。一题多解，每一种解法可能用到不同章节的知识，这样一来可以复习相关知识，掌握不同解法技巧，同时每一种解法又能解很多道题，然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷、最合理，把本题的每一种解法和结论进一步推广，同时可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，善于总结、掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题，这对提高解题能力尤其重要。案例如下： 例3已知f（x）=x2，g（x）=（■）x-m，若？坌x1∈[1，3]，？埚x2∈[0，2]，使得f（x1）=g（x2），求实数m的取值范围。 变式1：已知f（x）=x2，g（x）=（■）x-m，若？坌x1∈[1，3]，？埚x2∈[0，2]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围。 变式2：已知f（x）=x2，g（x）=（■）x-m，若？坌x1∈[1，3]，？埚x2∈[0，2]，使得f（x2）≥g（x1），求实数m的取值范围。 变式3：已知f（x）=x2，g（x）=（■）x-m，若？坌x1∈[1，3]，？埚x2∈[0，2]，使得f（x）>g（x），求实数m的取值范围。 许多经典数学题目具有背景深刻，解法灵活的特点，可以作为训练思维的良好素材。如上例对其进行剖析、挖掘、变式、拓展，这样不仅能加深学生对原有问题的理解，更重要的是通过变式探究，还能提升学生的创造力和思维力。 四、思 试卷评讲结束后，正确地指导学生对考试整体情况的反思、对考试试卷的整理和对试卷的反馈矫正练习，具体做法如下。 1.教师和学生都应该通过试卷的分析共同反思。教师应加强反思的示范性，通过对试卷的反思性行为影响学生，通过对试卷的讲评展示自己在教学中的计划、监控和评价形式，让学生通过观察、聆听、思考，也学会批判和反思，然后指导学生写考后反思，其内容为：这次考试的成功和失败之处是什么？为什么会出现这样的结果？指出哪块知识是薄弱的地方，还需要进一步巩固和提高？对此该采取什么样的手段和方法解决问题。通过本次考试你学会了哪些处理问题的数学思想方法和技巧？请记下这些数学思想方法的用途和技巧等。笔者认为学生应该做到：一要明确指出错在哪儿；二要找导致错误的根源是什么，从审题、题目归类、重现知识和找出答案等四个环节来分析；三是采取何种方式来纠错，并提醒自己再遇到类似的问题应注意哪些事项；四是对做错的题自己再找一道类似的题记下来重新做一遍。只有加强反思意识，才能改进学习方式和纠错能力。 2.试卷评讲完后，加强对错题的整理和思考。让纠错题成为一种习惯，通过纠错使我们更加清醒地认识自己。一是对知识的掌握上是否到位，从知识的内涵（本质属性）、外延（使用范围）和发生、发展过程中提高认识水平。二是了解解题的方式方法问题，从联系、对比和一题多解中，提高运用数学思想方法的能力。三是了解自己思维上的弱点，从变换视角、逆向思维和求异思维中，提升思维的灵活性、创造性。四是了解自己答题上的失误，“会而不对”是学生考试中的一种通病，常见的有审题错误、计算错误等，平时以为是粗心，其实是一种不良的学习习惯问题，必须在平时的学习中逐步克服，指导学生读题要慢，审题要清，计算要准而快，强调运用数学思想方法对学习进行指导，否则后患无穷。 3.试卷评讲完，教师要思考如何让试卷讲评课得到延伸。教师要根据本班讲评课的反馈情况再进行一次反馈矫正练习，为在考试中失利的同学再创造一次机会，同时也检查讲评课的效果。 总之，传统的试卷评讲方式忽视了学生的主体地位，忽视了考试评价对复习备考的指导作用，因此，教师要以学生为主体，最大限度地挖掘学生的潜能，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习的内驱力。依据学生在试卷上的得失反映掌握知识的具体情况，有重点和选择地评讲，实现试卷讲评的价值，使其收到举一反三、触类旁通的效果。 参考文献 [1] 曾大洋.如何上好一堂数学课.上海：华东师范大学出版社，2009. [2] 孙四周.在“一题多解”中应保证学生的主题地位.数学通讯，2012（3）.（责任编辑 郭振玲）
