浅谈基于APOS理论下的负数概念教学

一、问题提出

数学是研究数量关系和空间形式的科学，它利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念，是由概念、命题、推理组成的知识体系。高度抽象性和严密逻辑性是这门学科的特点，使数学成为一门以抽象思维为主的学科，使数学学习活动成为一种特殊的学习活动。概念是对事物本质的认识，对概念的理解就是对事物本质的理解。中学数学教学大纲中明确指出：“正确理解概念是掌握数学基础知识的前提。”数学的抽象性就其本质而言是一种建构活动，对于数学概念的教学，应通过揭示数学知识发生、发展的过程，尽量帮助学生理解所学知识的数学本质，让学生主动建构知识，从而获得概念。数学概念是逻辑思维的最基本单元和形式，数学概念本身具有高度抽象性，通常很难给学生直观展示，这成为教学过程中的一个难点。探讨数学概念教学规律一直是数学教育领域的热点问题之一。

在数的发展过程中，自然数是有理数的基础，有理数是实数的基础，实数理论又是微积分的基础。负数是数系的一个重要组成部分，传统教学都是在初一年级安排学习负数。由于受思维定式的影响，很多学生在开始接触负数时都感觉困难，所以负数是初中数学教学的一个难点。新一轮基础教育数学课程改革在小学二学段要求“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量”，因此了解小学生负数概念的学习情况，研究小学数学负数概念教学有着重要的现实意义。

二、理论基础

对于儿童的数学能力是如何发展的，一直以来存在着不同的理论和观点。皮亚杰认为：“儿童数学知识的获得是他们在自己的活动中对外部世界的主动建构，儿童数学能力的发展是他们的认知结构从低层次向高层次转换的过程，这一结构的产生与转换依赖于逻辑能力的发展和一种内部的思维反思过程，认识发展的过程要经历同化、顺化、平衡三个阶段。”传统概念同化教学模式的基本步骤如下：第一，揭示概念的本质，给出定义。例如，加法交换律的本质是交换加数的位置和不变，用关系式A+B=B+A表示。第二，对概念进行特殊分类，揭示概念的外延，如平行四边形的学习。第三，概念的应用，对概念进行识别，建立概念与其他概念的联系。

在皮亚杰的研究基础上，杜宾斯基等者根据数学学习的特点，提出数学概念学习要经历操作（Action）、过程（Process）、对象（Object） 和概型（Scheme）四个阶段。APOS 分别是由这四个英文的第一个字母组合而成。操作（Action）阶段：为了引出数学概念需要进行的活动或操作。过程（Process）阶段：把操作活动综合形成数学概念。对象（Object）阶段：把数学概念上升为一个独立概念来处理。概型（Scheme）阶段：形成包括上述三个过程的综合心理图算式。

APOS理论是同化教学理论的发展，活动阶段是儿童通过对外部世界的观察和实际获得的经验来理解数学抽象或数学关系。“操作A”是学生建构数学概念的起点，是学生理解概念的一个必要条件。通过活动让学生亲身感受概念的直观背景和概念间的关系，为过程阶段提供感性的素材。“过程P”是学生对活动进行思考，通过观察、联想、归纳、概括，对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质。“对象O”是通过前面的抽象，认识到了概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，成为一个具体的对象。在以后的学习中，以此为对象去进行新的活动。对象化既是概括的结果，也是新认识的起点。“概型S”是在头脑中形成综合的心理图式，这一图式含有具体的概念实例、抽象的过程、完整的定义以及与其他概念、规则、图形等的联系和区别。

三、APOS理论下负数概念的教学设计

1.教材分析

数的概念产生于日常生活中的实物计量，但真正与实体直接相关联的1368530edf9cf6d2d25cb0c6775a3b9b、通过日常经验可以获得的数只有自然数，其他的数都要理性的思考才能获得。数系扩充存着在两种不同的认知体系，一种是数的自然扩充过程，它反映了人类对数的认识的历史发展进程，这个过程为自然数数→正有理数→简单无理数→零与负数→复数→严格的实数系；另外一种是数的逻辑扩充过程，是适应数学逻辑发展需要构造的逻辑体系，采用添加元素的办法，遵循[N] [添加0][N0] [添加正分数0][Q+0] [添加负分数][Q] [添无理数][R] [添加虚数][C]的过程。现行的中小学数学教材通常采用第二种扩充办法，每次扩充都从某种测量的实际需要出发来说明扩充的必要性，并说明某一运算的逆运算在原有数集中不能完全以实施，某一方程在原有数集中无解。以人民教育出版社小学数学新教材为例，“认识负数”安排在六年级下册，共编排了4个例题，第1个例题与温度计有关，第2个例题是收入与支出问题，第3、第4个例题与数轴相联系。根据APOS理论，我们就小学阶段负数概念教学进行了有益的探索。

2.教学设计

（1）操作阶段：创设情境，引入概念。

概念的引入要考虑学生的认知规律，体现直观性和可接受性原则，解决概念引入的必要性问题。负数不是由测量产生的，不能通过实物操作获得负数的概念，但小学生已经建立起高低、前后、左右等具有相反意义的概念，教学中可充分利用温度这一学生熟悉的事物创设生活情境展开。负数这一概念安排在六年级下册第一单元，也就是下学期开学时的新课，这一段时间重庆城区白天气温很多在零度以下，所以教学可设计两种方案：如果天气状况允许，就安排实地的观测活动；如果天气状况不允许，就创设情境进行教学。课堂教学中，我们经常采用第二种方案。首先出示两组图片，一组是零度以下，如飘雪、结冰；另外一组零度以上，如夏天重庆地区的生活照片，然后问学生怎么表示不同情况下的气温。接着播放一段中央电视台的天气预报视频，让学生观察温度的表示和读法。接下来用电子体温表真实测量人的体温，让学生观察温度计上升的过程，引导学生得出这时候的读法。最后出示温度计教具，根据例1的情境在教具上拨出相应的温度，引导学生认识负数。

操作实际上是学生对于感知到的对象进行转换，以实际经验来获取信息，通过实验、观察，经历数学概念形成过程的一个反省抽象的活动。在负数概念教学中，教师合理设计并开展操作活动，提供充足的时间和空间让学生动脑、动眼、动口、动手，使之在操作中感知领悟，体会生活中引入负数的必要性。

（2）过程（Process）阶段：抽象概括，表述概念。

概念的概括实际上就是数学概念的定义，是从已知概念明确另外一个概念内涵的逻辑方法。教学中应该充分发挥学生的主动性，通过独立思考、合作交流等多种形式，给学生营造一个再发现、再创造的氛围。小学阶段很多是从外延的角度给出概念的形式定义，以便于学生对概念的掌握。负数这个概念，学生通常是从以前学过的数前面添上减号去理解和接受的。

（3）对象阶段：深入理解，剖析概念。

（4）概型阶段：实际应用，形成图式。

通过上面三个阶段，负数概念已经形成一种含有具体实例、抽象过程、完整定义以及和其他概念（如零和负数等）既有区别又有联系的综合心理图式。概型阶段要加强应用，帮助学生形成稳定的心理图式。例4是已知温度，如何在数轴上表示一周气温的问题。相对前面的例题而言，这是一个逆向思维的问题，该问题的解决包含了实数大小比较的问题。教学中应当深化学生对所学概念的理解、把握与应用，有意识地加强学生分析问题与解决问题的能力。

个体对操作、过程、对象以及他自己头脑中原有的相关方面的问题图式进行相应的整合，就会产生新的问题图式，这种图式的作用和特点就是可以决定某些问题或某类问题是否属于这个图式。这个阶段，概念已经从具体中抽象出来，而这个抽象的过程中又有了对概念的完整的定义，是对以上三个层次的综合。个体的思维和认识状况，在这种持续建构中已经上升到更高的新的层次。

总之，学习数学概念就是对数学对象、图式的一种渐进的建构过程，教学设计中应该注意。操作、过程、对象、概型四阶段是一个整体，教学中应以操作为先导，在活动过程中反思，让学生经历概念形成的各个阶段，分层渐近地展开各个教学环节。同时也应该注意，虽然各阶段的目标不一样，但各阶段没有严格的区分，对象阶段与图式阶段可以循环往复。一个数学概念由“过程”到“对象”的建立有时是既困难又漫长的，“过程”到“对象”的抽象需要经过多次的反复，循序渐进，螺旋上升。随着学习的深入，学生的认知结构会不断按“平衡→不平衡→平衡”的模式发展，网络结点会越来越多，网络结构会变得越来越复杂。例如，随着有理数运算、无理数概念的学习，学生会进一步认识和理解负数概念。

（责编 杜 华）