植树问题新探

植树问题通常是指沿着一定路线植树，这条路线总长度被平均分成若干段（间隔），研究间距、间隔数、植树棵数、总长度这四者之间数量关系的数学问题。植树路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线，如长方形、正方形、圆形等。课改后，人教版小学数学教材四年级下册将植树问题编入数学广角，该问题是四年级下册一个教学难点，目的是培养学生从数学角度运用所学知识和方法解决问题。近年来笔者对植树问题进行了反复的研究，并在教学中进行尝试，取得良好效果。

按植树要求的不同，植树问题可分为三大类：两端都植、一端不植、两端不植。总长÷间距=间隔数，这个关系中三大类都保持不变，而间隔数与所植棵数之间，类型不同，数量关系也不一样。每一大类模型运用于各种不同情境，又分为几个小类。下面就分类讨论各类植树问题的解法，并理清它们之间的脉络。

一、一端不植

4. 穿插植树

【例5】有一湖周长800米，湖边每16米植柳树一棵，在相邻柳树之间，又等距离地植了3棵桃树，有多少棵柳树？多少棵桃树？两棵柳树之间的桃树间距是多少？

解：由于是形环路，所以柳树间隔数为800÷16=50（段），柳树棵数为50棵，桃树3×50=150棵。

3棵桃树，将相邻两棵柳树分隔成3+2-1=4（段），因此桃树间距为16÷（3+2-1）=4（米）。

二、两端都植

1.典型例题

5.楼层问题

三、两端不植

1. 典型例题

2.排队问题

【例15】远洋小学六（1）班排队做早操。一列纵队中，小明排第6个，小东排第12个，小明和小东之间有几个同学？

解：第6个和第12个之间有12-6=6（段）间隔，而求小明和小东之间有几个同学，属两端不植情况，相当于植6-1=5（棵）树，所以有6-1=5（个）同学。

植树问题可分成三大类，三大类之间有什么内在联系？每一大类典型例题与各种变式之间又有什么联系？三大类中总长、间距、间隔数三者数量关系保持不变，先用一一对应思想解决一端不植时植树棵数与间隔数之间的数量关系，植树棵数等于间隔数 ；在这基础上，两端都植棵数转化为一端不植时棵数加1，也就是间隔数加1；两端不植棵数转化成一端不植时棵数减1，也就是间隔数减1。

各大类中各种变式都可通过画图转化成典型的例题解决。在现实生活、生产和今后的学习中，还有很多不是植树的但可用画图法转化为典型的植树问题，并能用植树问题的模型解决。因此，植树问题不但体现了抽象思想、推理思想、模型思想，还是一个很好的数学模型。

（责编 金 铃）