注重方法 渗透思想

初中阶段是发展数学思维的重要时期，这一阶段数学学习不仅是学知识，更是提高数学素养、领悟数学思想方法、锻炼思维能力的关键时期. 数学思想方法是数学的精髓，只有掌握数学思想方法，才能更深刻地理解数学的本质，才能把所学数学知识与掌握的技能转化为分析和解决问题的能力. 《走进图形世界》这一章涉及的数学思想主要有：分类思想、类比思想、转化思想.

一、 分类思想

分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想. 本章中对几何体和平面图形的分类都用到了分类思想. 在应用分类思想解题时，要注意分类必须按同一标准进行，而且要做到不重复、不遗漏.

1. 几何体的分类

例1 请将图1中的几何体按相同的特征进行分类，并说明理由.

【分析】对事物进行分类先要确定分类的标准，我们常常把具有某些共性的事物作为一类.

解：按组成几何体是平面还是曲面来分可分为三类：（3）、（4）、（5）、（6）、（8）为一类，组成它们的都是平面；（7）为一类，组成它的都是曲面；（1）、（2）为一类，组成它们的既有平面又有曲面. 按几何体是柱体、锥体、球体划分也分成三类：（1）、（3）、（4）、（5）、（6）、（8）为一类，它们都是柱体；（2）为一类，它是锥体；（7）为一类，它是球体. 按有无顶点可分为两类：（1）、（7）为一类，它们没有顶点；（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（8）为一类，它们都有顶点.

【点评】“分类”是一种重要的数学思想，对几个几何图形进行分类时，首先要明确其形状特征，特别是明确这些几何体的相同点和不同点，然后选择适合的分类标准进行分类. 此类题目一般答案不唯一，只要按照某种标准分类，且分类合理即可.

2. 正方体展开图的分类

例2 一个正方体的纸盒，将它展开为平面图形，有几种可能？

【分析】运用分类的数学思想和简单的枚举法，将正方体平面展开图的情况一一列举出来.

解：所有可能的情况共11种，可分为三类：

第一类：中间四连方，两侧各一个（简称一四一型），共六种.

第二类：中间三连方，两侧各有一、二个（简称二三一型），共三种.

第三类：中间二连方，两侧各有二个（简称二二二型），只有一种.

第四类：两排各三个（简称三三型），只有一种.

【点评】同一个多面体，按不同的方式展开可能得到不同的平面图形，要充分发挥空间想象力，将平面图形的所有可能情况一一列举出来.

二、 类比思想

类比是依据两个对象之间存在着某些相同或相似的属性，推出它们存在其他相同或相似的属性的思维方法. 本章中一些几何特征的对比体现了类比的数学思想.

1. 几何体展开图的判断

例3 图2中的几个图形是一些常见几何体的展开图，你能正确说出这些几何体的名字吗？

【分析】一般地，在几何体的展开图中，由六个正方形组成的是正方体；只有两个多边形其余为长方形的为棱柱；只有一个多边形，其余为三角形的为棱锥；两个圆和一个长方形组成的为圆柱.

解：（1） 正方体；（2） 长方体；（3） 四棱锥；（4） 三棱柱；（5） 三棱锥；（6） 三棱柱；（7） 圆柱.

【点评】通过几何特征的对比，可以迅速、准确地判断一些常见几何体的平面展开图. 熟悉几何体平面展开图的特征是解题的关键.

三、 转化思想

转化是指将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想. 本章中一些几何体的表面可以展开为平面图形，一些平面图形可以折叠成几何体，点动成线、线动成面、面动成体，作一个几何体的三视图的过程充分体现了转化的数学思想9T+lpNM9ZE6DrhYZWBiVtQ==.

1. 立体图形表面展开问题

例4 如图3，一只蚂蚁要从正方体表面上E点爬到距离它最远的C点，则怎么爬行可使得路线最短？画图加以说明.

【分析】蚂蚁在正方体表面上. 从E点爬到距离它最远的C点，路线很多，如EGC，EFBC，EADC……如何确定一条最短的路线？在平面上，两点之间线段最短，怎样使点E与点C在同一个平面内？此时我们可以把正方体展开（如图4），连接E、C，线段EC就是最短的爬行路线.

解：如图4，线段EC就是最短的爬行路线.

【点评】把立体图形展开转化为平面图形是处理类似问题的重要方法，在平面图形上问题会变得简单易解.

2. 平面图形转化为立体图形

例5 如图5是一个正方体盒子的展开图，原正方体中与“★”字所在的面相对的是哪一个面？

【分析】先把六个面通过折叠转化为一个正方体，可发现“我”与“欢”相对，“喜”与“学”相对，“数”与“★”相对.

解：“★”与“数”相对.

【点评】由平面图形转化为立体图形，主要考查同学们转化过程中的空间想象力. 对于此类题目，为防止出错，可以实际动手操作.

例6 下列说法中正确的有（ ）个.

（1） 直角三角形绕一条直角边旋转一周得到圆锥.（2） 等边三角形绕一边旋转一周得到圆锥.（3） 矩形绕一条直角边旋转一周得到圆柱.（4） 等腰梯形绕一条底边旋转一周得到圆柱.（5） 直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周得到圆柱.（6） 圆绕直径旋转一周得到球体.

A. 1个 B. 2个

C. 3个 D. 5个

【分析】等边三角形绕一边旋转一周得到的是两个底面重合的圆锥，故（2）不正确；等腰梯形绕一条底边旋转一周得到上下各一个圆锥、中间一个圆柱，故（4）不正确；直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周得到圆台，故（5）不正确.

解：选C.

【点评】应充分理解平面图形经旋转形成立体图形这一转化过程.

3. 几何体与三视图的相互转换

例7 画出图6中由几个正方体组成的几何体的三视图.

【分析】从正面看有三列，第一列2层，第二列1层，第三列1层；从左面看有两列，第一列2层，第二列1层；从上面看有三列，第一列2排，第二列1排，第三列1排.

解：如图7.

【点评】作正方体三视图时要看列数、层数（排数），主视图要从正面看有几列，每列有几层；左视图要从左面看有几列，每列有几层；俯视图要从上面看有几列，每列有几排.