图形类难点问题例析

例1 如图1，是由几个小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，请画出相应几何体的主视图和左视图.

【解析】主视图的画法：“看列，选最高层”. 第①列最高层是1层，就竖着画1个正方形；第②列最高层是2层，就竖着画2个正方形；第③列最高层是1层，就竖着画1个正方形（如图2）. 左视图的画法：“看行，选最高层”. 第（1）行最高层是2层，就竖着画2个正方形；第（2）行最高层是2层，就竖着画2个正方形（如图3）.

变式 图4是由棱长为1的正方体搭成的积木的三视图，则积木中棱长为1的正方体的个数是多少？

【解析】此种类型的问题，可以由主视图和左视图的形状入手，在俯视图的各个位置标出小正方体的个数. 主视图的第1列只有1个正方形，则在俯视图的第1列两个位置都只有1个正方体，即a=1，d=1；主视图的第2列只有一个正方形，则在俯视图的第2列的一个位置只有1个正方体，即b=1；主视图的第3列有2个正方形，则在俯视图的第3列两个位置至少有一个位置有2个正方体；由左视图的第1列有2个正方形，则d和e至少有1个为2，而d=1，所以e=2；左视图的第2列有1个正方形，所以a、b、c应该都为1. 所以此积木中，每个位置的小正方体的个数为1+1+1+1+2=6，即小正方体的个数为6.

例2 小林根据如图5所示的平面展开图做了一个无盖的正方体盒子，他想给盒子加上一个盖子，所以要在原来的展开图上加一个正方形，请你帮小林在图中画上一个正方形，并想一想，这个正方形有几种可能的位置？

【解析】根据正方体的展开图，当四个正方形连在一起时，需要上下两侧各有一个正方形，所以可以在图中上方的四个位置添加一个正方形，即有四种位置（如图6）.

例3 如图7，有一腰长为5 cm、底边长为4 cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个全等的直角三角形纸片拼成的平面图形中有几个不同的四边形？

【解析】将剪开的两个全等的直角三角形相等的两边拼接在一起，可以得到如图8的四个四边形. 其中，两条斜边拼接在一起的有两个图形，最后一个图形容易被同学们忽略.

变式 把图9中的直角三角形和直角梯形相等的边拼合在一起，可以拼成几个不同的平面图形？

【解析】将边长为2的边拼到一起可得到等腰梯形、平行四边形、有一个角是直角的四边形、有一个角是直角的五边形（如图10）；将边长为1的边拼到一起可以得到一个三角形（如图11）；将另外两条相等的边拼在一起可以得到正方形和有三个角是直角的五边形（如图12）.

例4 如图13，一圆柱形的树上A处有一只螳螂，它想偷袭停在它正下方B处的蜘蛛，为了防止被蜘蛛发现，螳螂必须快速绕树一周才有可能偷袭成功，请你画出螳螂偷袭的最短路线.

【解析】螳螂从A点到B点，爬行的路线一定要在圆柱的表面上. 我们知道，在平面上连结两点的线段是最短的，那么就应该让A点和B点在同一平面内. 因此我们可以把圆柱展开，再画连接A、B两点的线段. 如图14，把圆柱的侧面沿AB剪开，展成平面图形——长方形，则长方形的对角线AB即为所求的最短路线.

例5 如图15是一个上下底密封的纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的侧面积为_____cm2.

【解析】由三视图计算立体图形的面积或体积时，要善于将三视图转化为立体图形. 根据本题的三视图可知这是一个正六棱柱盒子，它的侧面是由6个面积相同的长方形组成，由三视图可知盒子的高为12cm，纸盒的底面为正六边形，它的对角线长为10 cm，三条对角线把正六边形分成了六个相同的等边三角形（如图16）. 所以，正六边形的底面边长为5 cm，其侧面积为6×5×12=360（cm2）.