突破难点 扫除障碍

突破点1：一元一次方程概念的理解

例1 （黄冈市）关于x的一元一次方程（k2-1）xk-1+（k-1）x-8=0的解为_______.

【分析】由一元一次方程的定义可知，原方程是一元一次方程，则有两种情况：

①当k-1=1，即k=2时，原方程3x+x-8=0，解之得x=2.

②当k2-1=0且k-1≠0时，也就是当k=-1时，原方程化为-2x-8=0，解之得x=-4.

所以原方程的解为x=2或x=-4，故答案为x=2或x=-4.

【解答】x=2或x=-4.

【点评】加深对一元一次方程概念的理解，才能在所给条件下根据概念具备的本质特征得出相应的结论（如本例中的k-1=1和k2-1=0且k-1≠0）.

突破点2：技巧性解法

例2 解下列方程：

（1） ■-■=1；

（2） ■■■x-■？摇-8=■x.

【分析】对于（1），将方程的两边同乘6，去掉分母；对第（2）题，不难看出，先用乘法分配律简化方程，再求解较容易.

【解答】（1） 去分母，得2（2x+1）-（5x-1）=6；去括号，得4x+2-5x+1=6；移项，得-x=3；系数化为1，得x=-3.

（2） 去括号，得■x-■-6=■x；移项，合并同类项，得-x=■；系数化为1，得x=-■.

【点评】（1） ①去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项；②去分母后，分数线起到括号的作用，尤其是分式前是负号的项. （2） 技巧性解法的发现需要认真观察方程的结构特征，需要突破习惯性思维的束缚.

突破点3：方程的解的讨论

当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax=b的形式，继续求解时，一般要对字母系数a、b进行讨论.

（1） 当a≠0时，方程有唯一解，x=■；

（2） 当a=0，b≠0时，方程无解；

（3） 当a=0，b=0时，方程有无数个解.

例3 如果a，b为定值，关于x的方程■=1+■，无论k为何值，它的根总是1，求a，b的值.

【分析】仔细读题，转换角度，考虑将方程转换成关于k的方程.

【解答】把x=1代入方程，得■-■=1；化简，得（2b-3）k=2-3a.

由于k可以取任何值，即关于k的方程有无数个解，于是得2b-3=0，2-3a=0.解得a=■，b=■.

【点评】若ax=b对于任何x的取值都成立，则必有a=0，b=0.

突破点4：与绝对值相关的问题探究

例4 若a，b，c为整数，且a-b19+c-a99=1，试计算c-a+a-b+b-c的值.

【分析】根据绝对值的定义和已知条件a，b，c为整数，且a-b19+c-a99=1确定a、b、c的取值及相互关系，进而在分情况讨论的过程中确定c-a、a-b、b-c的值.

【解答】a，b，c均为整数，则a-b和c-a也应为整数，且a-b19与c-a99为两个非负整数，和为1，所以只能是

a-b19=0且c-a99=1，①

或a-b19=1且c-a99=0.②

由①知a-b=0且c-a=1，所以a=b，于是b-c=a-c=c-a=1；由②知a-b=1且c-a=0，所以c=a，于是b-c=b-a=a-b=1. 无论①或②都有b-c=1且a-b+c-a=1，所以c-a+a-b+b-c=2.

【点评】根据绝对值的定义和已知条件确定a、b、c的取值及关系是解决本题的关键，同时要注意讨论过程的全面性.

突破点5：列方程解应用题过程中等量关系的寻找

例5 （2003·湖北襄樊）一牛奶制品厂现有鲜奶9 t. 若将这批鲜奶制成酸奶销售，每加工1 t鲜奶可获利1 200元；若制成奶粉销售，则每加工1 t鲜奶可获利2 000元. 该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3 t；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1 t. 由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两产品不可能同时生产，为保证产品的质量，这批鲜奶必须在4天内全部加工完毕. 假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大？最大利润是多少？

【分析】要确定哪种方案获利最多，首先应求出每种方案各获得的利润，再比较即可.

【解答】生产方案设计如下：

（1） 将9 t鲜奶全部制成酸奶，则可获利1 200×9=10 800（元）.

（2） 4天内全部生产奶粉，则有5 t鲜奶得不到加工而浪费，且利润仅为2 000×4=8 000（元）.

（3） 4天中，用x天生产酸奶，用4-x天生产奶粉，并保证9 t鲜奶如期加工完毕.

由题意得，3x+（4-x）×1=9.

解得x=2.5.

∴4-x=1.5（天）.

故在4天中，用2.5天生产酸奶，用1.5天生产奶粉，则利润为：2.5×3×1 200+1.5×1×2 000=12 000（元）.

答：按第三种方案组织生产能使工厂获利最大，最大利润是12 000元.

【点评】运用数学知识解决现代生产中的实际问题是中考的热点之一，同学们应多留意生活中的规律，把数学与生活有机结合起来. 对于方案三的销售金额计算，不能按“问什么设什么”的方法求解，如果设销售金额为x元，则不易找到它与已知量的联系，列方程将很困难. 列方程解应用题时，恰当地设未知数很重要.