地毯上的数学文化

如图1，在高为2米、水平距离为3米、宽度为1米的楼梯的表面铺地毯，已知地毯每平方米的售价为120元，问把楼梯表面全铺上地毯，共需多少元？

【分析】首先要知道地毯的长度，方法一：把楼梯看成是可动的，这样就可以展开它，地毯的长度就等于楼梯展开后的长度，我们把每一个台阶展开图的长度相加，得出地毯长5米；方法二：利用平移的思想把每个台阶的横向线段平移至下面，纵向线段平移至右侧，你会发现它们恰好与水平线段及高重合，这样很容易计算地毯的长为：3+2=5（米）. 地毯的面积为：5×1=5（平方米）. 方法三：如图2，先画出楼梯的主视图、左视图、俯视图，这三个视图中，俯视图和左视图能够直观地观察到地毯，它们的面积之和即为地毯的面积. 俯视图面积：3×1=3（平方米），左视图面积：2×1=2（平方米）. 总面积为：3+2=5（平方米）. 所需地毯的面积和固定高度、宽度的楼梯所含的台阶个数有关吗？综合以上三种方法可知无关. 正确答案：共需5×120=600（元）.

【变式应用】一个七级的楼梯要铺地毯，地毯每平方米30元.楼梯的水平距离是5.8米，高是2.6米，每层阶梯宽2米，求要花多少钱.

解：（5.8+2.6）×2=16.8（平方米）.

16.8×30=504（元），即要花504元.

【点拨】题目中给的楼梯七级是个干扰条件，意在考察我们对于楼梯铺地毯问题的解决方法是否灵活掌握.

【变式应用】楼梯的侧面视图如图3所示，其中AB=5米，BC=3米，∠C=90°，楼梯的宽度为6米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为多少平方米？

【分析】要想知道地毯的长度就须知道楼梯的水平距离和高，题目中没有给出水平距离，求出AC就是解决该问题的关键.

解：∵AB=5米，BC=3米，∠C=90°，

∴由勾股定理（八年级将学习）求出AC=4米，

∴地毯的面积为（4+3）×6=42（平方米）.

【总结】解决此类生活问题，要会用数学中的平移或三视图思想将地毯的长度算出来，再计算地毯面积.关键点：地毯长度和楼梯的级数无关，仅由楼梯的水平距离和高度确定.