生活中的一元一次方程

数学来源于实践，人们生活最基本的衣、食、住、行都含有数学元素. 随着市场经济的逐步完善，生活中的科学化、经济活动中的最优化都需要人们运用数学知识、思想和方法. 一元一次方程虽说是最简单的方程，却是刻画和研究现实世界数量关系的有效模型. 下面采撷几例衣、食、住、行等方面的应用题，与同学们共同赏析.

一、 “衣”

例1 某服装店一天内销售两种服装，甲种服装共卖得1 560元，为了构建和谐社会，乙种服装送到乡下共卖得1 350元，若按甲、乙两种服装的成本分别计算，甲种服装盈利25%，乙种服装亏本10%，试问该服装店这一天共盈利（或亏本）多少元？

解：设这一天内销售的甲种服装成本为x元，乙种服装成本为y元，则有

x+25%x=1 560，① 解①得x=1 248.

y-10%y=1 350，② 解②得y=1 500.

∴销售额-两种成本=（1 560+1 350）-（1 248+1 500）=162（元）.

答：该服装店这一天盈利162元.

二、 “食”

例2 一批食品，如果年初售出，可获利1万元. 如果年末售出，可获利2.3万元，但需付仓储保管费1 000元. 同时年初售出后可以将本利一起用入周转，抵减银行贷款，银行贷款年利率为24%，问这批食品是年初还是年末售出为好？

解：设这批食品的成本为a元，若年初售出后抵减银行贷款，则利润和少付利息为：

（a+10 000）·24%+10 000.

所以有23 000-1 000-[（a+10 000）·24%+10 000]=0.24（40 000-a）.

当成本费大于40 000元时，年初售出最好；当成本费等于40 000元时，年初年末售出均可；当成本费小于40 000元时，年末售出最好.

三、 “住”

例3 某房地产开发商对购房者可提供分期付款服务：首期付款3.2万元，以后每月付1 000元，陈先生想用分期付款形式购买一套价值28万元的住房，他需要多长时间才能付清全部房款？

【分析】设x个月付清全部房款. 根据题意可有下面的等量关系：首期付款+以后每月付款和=28万元.

解：设x个月付清全部房款. 根据题意3.2+0.1x=28.解得x=248，即20年零8个月付清全部房款.

【点评】列一元一次方程解决实际问题，关键是找出包含问题全部条件的等量关系，然后列出方程. 解出方程后，经过检验，就可得到实际问题的答案. 另外在列方程时，要注意单位的统一.

四、 “行”

例4 甲乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度为17.5千米/小时，乙的速度为15千米/小时，经过几个小时甲乙两人相距32.5千米.

【分析】本题容易漏解. 应分两种情况讨论.

解：设经过x小时两人相距32.5千米.

（1） 相遇前两人相距32.5千米时，方程为17.5x+15x=65-32.5；

（2） 相遇后两人相距32.5千米时，方程为17.5x+15x=65+32.5.

试一试：

1. 某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余30个空座位.

（1） 求该校参加春游的人数；

（2） 已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车的租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独租用一种客车要节省，按这种方案需租金多少元？

2. 某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游. 甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待.”乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折收费.”若全票价为240元.

（1） 设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）.

（2） 当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？

（3） 就学生数x，讨论哪家旅行社更优惠.

3. 某食品原价a元，提价10%后销路不好，只好又降价10%，此时售价为b元，则a、b的大小关系为（ ）.

A. a>b B. a=b

C. a

4. 陈华以8折的优惠价钱买了一双鞋子，节省了20元，那么他买鞋子时实际用了（ ）.

A. 60元 B. 80元

C. 100元 D. 150元

5. 一商店把某种品牌的羊毛衫按标价的八折出售，仍可获利20%，若该品牌的羊毛衫的进价每件是100元，则标价是每件_______元.

6. 某家具的标价为132元，若降价以9折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ）.

A. 108元 B. 105元

C. 106元 D. 118元

7. 某商店经销一种商品，由于进价降低了6. 4%，使得利润提高了8%，那么原来经销这种商品的利润率是（ ）%.

8. 某人以八折的优惠价买一套服装省了25元，那么买这套服装实际用了（ ）.

A. 25元 B. 60元

C. 125元 D. 100元