错题引领成功之路

《走进图形世界》是同学们在初中阶段学习的几何知识的第一个章节，是小学阶段学习的简单基础图形知识的延伸. 本章的内容主要包括生活中常见的几何体的形状、展开与折叠、截面图及三视图. 本章内容在中考中占有一定的比重. 请看同学们在学习时的几个易错点.

一、 多面体表面展开图问题

例1 如图1（1）～（4），是一些立体图形的平面展开图，请说出它们的名称.

错解：图1（1）是三棱锥；图1（2）是四棱柱；图1（3）是五棱柱；图1（4）是六棱锥.

【点评】圆柱、圆锥、棱柱和棱锥的平面展开图形状必须记清楚. 圆柱的侧面展开图是个长方形，所以平面展开图是1个长方形+2个圆. 圆锥的侧面展开图是个扇形，所以平面展开图是1个扇形+1个圆. 棱柱的侧面都是长方形，棱锥的侧面都是三角形. 下面我们通过表格来分析一下棱柱和棱锥的平面展开图.

通过上面的表格我们不难看出：

图1（1）由3个长方形、2个三角形组成；图1（2）由4个三角形、1个四边形组成；图1（3）由5个三角形、1个五边形组成；图1（4）由6CdKrIOuyfFq9gca1L6I9zIXaz01FevOOntCG0+mcnVU=个长方形、2个六边形组成. 正确答案：图1（1）三棱柱；图1（2）四棱锥；图1（3）五棱锥；图1（4）六棱柱.

二、 利用展开图解决实际问题

例2 如图2（1）所示，长方体（ABB′A′为正方形）顶点A处有一只蜘蛛，长方体顶点C′处有一只蚊子，请你帮蜘蛛想个办法，找出一条让它沿着长方体表面爬行捉住蚊子的最短路径.

【错解】连接AC′，则线段AC′就是所求路径.

【点评】这道题是求最短距离问题，在立体图形表面上研究两点之间的最短距离时，我们通常把立体图形展开成为平面图形，这样可将立体图形上两点之间的距离转化为平面内两点之间的距离，在平面图形上问题会变得简单. 例如我们可以将点A和点C′所在面展开，再画连接A、C′两点的线段.

【答案】如图2（2）中AC′是一条最短路径.

三、 四棱柱对面问题

例3 有一个正方体，在它的各个面上分别标有字母a，b，c，d，e，f，如图3（1）、图3 （2）、图3 （3），用三种不同的方法摆放这个正方体，看到了不同的结果，你能说出b的对面是什么字母吗？

【错解】b的对面是f.

【点评】这道题从三种不同的摆放情况不能直接找到b的对面. 我们可以先把a，d的对面字母找到，然后用“排除法”确定b的对面字母. 由图3（1）、图3（3）可知与面a相邻的面是b，d，c，f，通过排除法可知a的对面是e. 由图3（1）、图3（2）可知与面d相邻的面是a，b，c，e，通过排除法可知d的对面是f. 所以面a与面e相对，面d与面f相对，那么面b只能与面c相对.

【答案】面b的对面是c.

四、 小立方体最多最少问题

例4 用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图4所示，试指出搭建这样的几何体最多需要多少块小立方体？最少需要多少块小立方体？

【错解】搭建这样的几何体最多有8块小立方体，最少有6块小立方体.

【错因】对主视图、俯视图的概念模糊.

【点评】主视图反映几何体的上下层数和搭建的列数，俯视图反映几何体的前后行数和列数. 本题可以根据主视图，在俯视图的每个小正方形上标出它所在处可以摆放的小立方体的数目，再把这些数字按照要求相加，从而得到搭成几何体需要的小立方体的个数. 通过观察不难发现，主视图从左到右第1列有3层，所以我们在俯视图的第1列的2行都标上3，这是俯视图的第1列小立方体最多的情况. 同样的方法标出第2列和第3列小立方体最多的情况，如图5（1）所示，然后把数字相加就得到搭建这样的几何体最多需要多少块小立方体. 在解答最少有多少块小立方体组成时，俯视图的第1列的2行有1行标3，其他行标1，这就是第1列小立方体最少的情况. 同样的方法标出第2列和第3列小立方体最少的情况，如图5（2）、图5（3）、图5（4）所示. 这时可能出现的几何体不止一种，在解题时要注意到这一点.

【答案】搭建这样的几何体最多需要11块小立方体，最少需要8块小立方体.

五、 利用三视图求表面积问题

例5 有14个边长为1 cm的小正方体摆成如图6（1）所示的几何体，现在想把这个几何体的表面全部涂上红色，问涂上红色的总面积为多少.

【错解】33 cm2.

【错因】有的同学把最下层小正方体底面9个面的面积漏掉导致了错误.

【点评】把这个几何体的表面都涂上红色，也就是说从前、后、左、右、上、下看这个几何体都要是红色. 从前和后、左和右、上和下看这个几何体的图形分别相同，而从前、左、上看这个几何体刚好就是这个几何体的三视图. 所以此题可以转化成求三视图的面积问题. 三视图如图6（2）所示，所以总面积即为三视图的面积和乘2.

【答案】42 cm2.