数学微课题研学 助推学生思维灵性发展

数学是思维的科学。数学教学理当以学生思维发展为核心。然而受传统教学观念和教育功利化因素影响，当下的中学数学教学中仍存在着片面追求知识速成、解题训练过多过滥的现象，导致学生思维离散肤浅、僵化刻板而缺乏灵性。这种状况若不改变，必将严重阻碍数学教学质量的提高，严重制约高素质人才的培养。在目前课堂教学仍占主导地位的学校教育中，如何有效开展教学活动，以助推学生的思维发展？笔者结合自己的教学实践，探索出以催生高效课堂为目标、助推学生思维灵性发展为核心、培养学生终身学习研究能力和团队精神为抓手的教学模式——微课题研学模式，与同行共同探讨。

一、微课题研学模式的主要内涵

微课题，即以学生在数学学习中遇到或出现的问题为研究对象，着眼于在真实的学习情境中发现问题、研究问题、解决问题。它最大的特点是“切口小、可操作”，解决的是小而有研究价值、简单可行的问题。

“微课题研学”的内涵是将课程中蕴含的教学资源升格为可以在课堂上进行研究的“微课题”。它是通过教师构建位于学生思维最近发展区的、蕴含当前学习内容本质的“微课题”作为平台，让学生综合运用已有的数学知识和活动经验，以定向研究的方式对“微课题”开展研学，通过自主探索、合作交流，在研究中学习，在学习中研究，学生通过有益的探索，在获取知识的同时发展思维的一种教学方式。通过对微课题的研学，学生经历活动或探究过程，在活动和探究中体验和感知数学，进而发现问题、提出问题、思考问题和解决问题。

“微课题研学”课堂模式旨在充分利用新课程教学资源，设计“微课题”，通过学生在“微课题研学”中探索、发现和解决问题，有效转变学生学习方式，让学生在主动、积极的学习环境中，激发思维灵性和创造力，培养一定的科研能力；同时让教师树立“以人为本、张扬个性、和谐发展”的教育理念，培育新型师生关系，从根本上改变传统的教学方法，构建真正有价值的高效课堂。

二、微课题研学模式的教学实施方略

苏霍姆林斯基说过：特别重要的一点是要使学生感到自己是一个研究者、思考者，而不是消极的知识“掌握者”。微课题研学课堂模式即在教师创设的“微研究”环境下，让学生成为学习过程中的“研究者”。学生亲历“微课题”研究，积累解决问题的外显操作经验和内隐数学思维活动经验，在师生合作互动中亲身体验寻求解决问题的方法，从而实现知识方法的有效内化和思维能力的有效发展。落实到操作层面，如何在数学课堂教学中实施微课题研学？在微课题研学中如何适时把握助推学生思维发展的契机，以助推学生思维的发展？笔者以例行文，谈一谈自己的做法与体会。

1.研学概念 助推学生思维从离散达致融通

数学概念之间的内在联系形成了教学内容的基本框架。“借助由概念及其相互之间的关系（通常称之为命题或原理）构成的知识层级结构，来证明人类头脑中的知识结构，借此查明结构中的错误概念，由此促进知识结构的进一步分化、合理化”。从概念理解的理论看，概念的学习本身就是一个“同化”或“顺应”的过程，“同化”或“顺应”是通过概念间的联系来实现的。从教与学的角度来看，概念间的逻辑联系应该成为最有效的联系，这种联系的确定不仅能促进学生思考的深度思维参与，亦能帮助学生建立牢固的概念知识网络。因此，对于那些与学生原有认知结构中的概念有着逻辑关联的概念，我们可以通过逻辑演绎或类比推理过程，帮助学生主动建构概念。

【研学案例1】圆锥曲线统一定义研学

在分别对圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的概念、方程、性质研究行将结束的时候，教材不失时机地推出了圆锥曲线的统一定义。仔细研读教材可以发现，教材（苏教版选修2-1p49）中先利用几何画板的动态图像研究“平面上到一个定点F和一条定直线l（F∈l）的距离之比为常数e的点的轨迹”问题，并就0

此问题很有意思，结论也是肯定的，自然会引起学生探索其中的奥秘。引导学生先考察椭圆。让学生回看教材椭圆定义和椭圆标准方程的推导过程。学生研究发现在利用椭圆定义推导椭圆方程过程中有

■+■=2a，移项后平方，有a2-cx=a■（*）。学生研究发现等号右边的■可以看成椭圆上点P（x，y）到点F（c，0）的距离，进而想到将方程两边同时除以a，得a-■x=■，提取■（向圆锥曲线统一定义中的常数e靠拢），得■=■=e，由（*）式易知a2-cx>0，即■-x>0，故该式又可以写成■=■=e，即为圆锥曲线统一定义形式。在此基础上，让学生用同样的方法研究双曲线的定义。

数学概念不是孤立的。设置概念性微课题应充分利用概念间的逻辑联系设置有思维价值的问题，将学生带入“愤悱”的境地。对概念性课题的研学必须让学生自主参与概念的产生、发展和融合的过程，获得亲身体验，逐步形成一种爱置疑、乐探究的心理倾向，进而激发学生探索和创新的积极欲望。教师要理解和信任学生，要大胆放手让学生用数学手段表征问题；在形成概念时，要留给学生充足的独立思考的时间和空间，做必要的时间等待。在研学过程中要适时、多角度、全方位地提出有价值的问题让学生思考；指导学生自主地建构新概念；在辨识概念时，要鼓励学生质疑中寻求问题的答案，在质疑和寻求答案的过程中构建融合的概念认知结构。在研学的过程中，学生获得的不仅是融会贯通、网络清晰的概念知识体系，思考问题的方式也在悄然变化，有助于学生思维从离散达致融通。

2.本质探源研学 助推学生思维走向深刻

强调对数学本质的认识是本轮高中课改的重要理念。数学课堂教学中，在坚持适度形式化的前提下，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，引导学生注重对数学本质的理解，能够让学生深刻认识数学知识的内涵，使他们自觉地将个体思维融入数学知识的形成过程中，由此及彼、由表及里、去粗取精、去伪存真，让学生思维从肤浅走向深刻，洞察研究对象和事实的实质，深刻领悟蕴涵在其中的数学思想方法。培养学生的思维深度，就是要引导学生刨根问底，追本溯源，而不是单纯的模仿和机械地训练。

【研学案例2】圆的对称性的解析表述研究——三角函数诱导公式

在日常听评课中，笔者发现许多教师对《三角函数诱导公式》一节的教学处理是从“对于范围内非锐角的三角函数，能否转化成锐角三角函数呢？如果能，转化公式是什么？”这一角度展开教学。教学中，由于诱导公式太多，学生记不住，教师又将其进一步概括为“奇变偶不变，符号看象限”，试图通过记忆强化和模仿、反复训练让学生掌握诱导公式。这种做法学生学得很累，教学效果还大打折扣。

让我们先看一下教材（苏教版必修4p18）是怎么处理的：先从定义的角度给出第一组诱导公式：终边相同的角的同一三角函数值相等；随即给出问题：“除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？”这样的做法其实是从诱导公式的本质（圆的旋转对称性和轴对称性的解析表述）出发，引导学生发现并推导出诱导公式，但如果直接抛出教材上的问题，可能会让学生感到有点“悬”：你是怎么想到提出这样的问题的？笔者在教学时设置微课题供学生研究：三角函数刻画了单位圆上点的变化规律。可以想象，它的基本性质与圆的几何性质有着内在的必然联系。大家知道，圆的最重要的性质就是它的对称性，如：以圆心为对称中心的中心对称图形，以任意直径为对称轴的轴对称图形等。这种对称性如何用三角函数进行刻画呢？在此基础上引导学生思考教材上的问题，让学生通过研究单位圆上点的对称并从解析的角度进行刻画。如此处理，诱导公式水到渠成，学生有着独立思考、自主探索的机会，经历了知识的发生、发展过程，其对公式的理解必然是精透的，又何愁其不能熟练把握？

3.问题拓展中研学 助推学生思维走向灵活

传统习题教学中，教师比较注重以“知识概要→范例分析→学生模仿→巩固强化”为特征的流程式教学，学生处于被动同化认知状态，知识难以得到有效内化。长此以往，学生思维容易僵化、刻板而丧失灵活性。笔者在教学实践中，启发诱导学生立足教材问题的再拓展研学，于引申中品味，于切磋中发现，于比较中鉴别，于反馈中深入，于拓展中激发，于联想中感悟，于创新中陶冶，让学生伴随着对问题解答经历多次螺旋式循环探究，不断地进行有意义的知识与方法构建而达到举一反三、触类旁通之效，有助于学生思维从刻板走向灵活。

【研学案例3】酒杯中的解析几何问题研学

苏教版高中数学选修2-1第63页“探究·拓展”题8：一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）。在杯内放入一只玻璃球，要使球触及酒杯底部（如图1所示），那么玻璃球的半径r应满足什么条件？

在学生完成的基础上，笔者引导学生将该题进行延伸研究。

（1）轴截面为直角形酒杯（或椭圆形酒杯）（如图2所示）。如果将一个玻璃球放入杯中，玻璃球的半径满足什么条件时，玻璃球一定会触及酒杯的杯底？

（2）设想在轴截面为抛物线形酒杯x2=2y（0≤y≤20）中，放入一根粗细均匀，长度为3的光滑钢针（如图3所示，端点与酒杯壁之间的摩擦忽略不计），那么当钢针最后达到平衡状态时，其在酒杯中的位置如何？

（3）在上述问题的基础上，再拓展为更一般的问题：如果钢针的长度为l，那么对于不同的l值，钢针的平衡状态又将如何？你能说明理由吗？

（4）如果将抛物线形酒杯换成直角酒杯或椭圆形酒杯（如图4所示），结论又将如何？

（5）假设钢针粗细不均匀（不妨设其重心在三等分点处），若将一根这样的钢针放入直角形酒杯（或椭圆形酒杯）中，那么当最后达到平衡时，钢针在酒杯中的位置如何？

让学生参与教材习题改编拓展研究，把问题的本来面目暴露给学生，不仅能帮助学生透过现象看清本质，避免了就题论题的宿命，更重要的是培养了学生思维的开阔性。把问题从个案向一般化方向拓展，符合学生的一般认知习惯，有助于调动学生学习、研究的积极性；在问题拓展和解决的同时，也给了学生思考和研究问题的方式，这也正是我们常规教育所难以企及的高度。

4.知识延伸研学 助推学生思维通达广阔

仔细研读新课标教材（以苏教版为例），我们不难发现，教材通过设置思考·运用、探究·拓展、实习作业等内容，对知识发展、背景问题、思想方法方面进行整合，呈现出以教材核心内容为课题进行拓展延伸的基本框架，意在让学生体验数学、感知数学、建立数学、运用数学和理解数学。教材中蕴含的丰富教学资源，为创造性地开展教学活动提供了广阔的空间。

【研学案例4】从函数的奇偶性到对称性研学

函数奇偶性是函数的重要性质。教材从函数图像关于原点对称、关于轴对称出发，提炼抽象出函数奇偶性的概念：设函数的定义域为A，对？坌x∈A，f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），f（x）则称为偶函数（或奇函数）。根据定义，我们很自然地想到：f（x）图像关于y轴对称？圳对？坌x∈A，f（-x）=f（x）；f（x）图像关于原点对称？圳对？坌x∈A，f（-x）=-f（x）。给出微课题：对于一般意义下的函数图像对称，如函数f（x）图像关于直线x=a轴对称或关于点（a，0）中心对称（其中a为常数），你能得到什么结论？

经过上述系列过程研究，学生对一般意义下的轴对称问题有了更清晰、更深刻的认识，这是结论式教学所无法匹及的。有了这样的基础，学生研究函数f（x）图像关于点（a，0）中心对称（其中a为常数）问题将易如反掌。课后还可以布置学生思考：函数f（x）图像关于点（a，b）中心对称（其中a，b为常数），结论又将如何？让学生在课堂研学的基础上，学科知识和研究问题的思想、方法得到进一步的升华，有助于学生的思维从囿隅通达广阔。学生获得的不仅是知识的延伸，认知结构的不断完善，更是思想方法的升华。

数学教学不仅要让学生掌握数学知识，更重要的是要让学生的思维得到切实有效的发展。微课题研学课堂上，在教师不断深入的引导和激励下，学生的思维活动由表层数学知识转向数学思想方法的形成过程。当研究成为自觉行动时，实现学生数学思维的有效发展也就成为必然。表面上，微课题研学课堂上学习（研究）的内容并不多，但思维容量大，思维价值高，更有助于学生思维的有效发展。相信这样的思维训练才真正符合高效课堂理念。

参考文献

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（责任编辑 刘永庆）