双星TDOA／FDOA定位系统的目标定位精度分析

常新亚 谢斌 张晓敏 兰丁

（航天东方红卫星有限公司，北京 100094）

1 引言

双星时差／频差（TDOA／FDOA）定位，利用两台处于不同位置的接收机（卫星）分别接收同一个辐射源发射的信号，通过测量信号分别到达两台接收机的时差（TDOA）和频差（FDOA），采用相应的定位算法，实现对辐射源的高精度定位。双星TDOA／FDOA 联合定位的方式，相对于三星、四星定位系统而言，减少了卫星数量，降低了系统实现难度和发射成本，其实时性和定位精度又高于单星定位方式，因此可简化卫星设计，提高可靠性。

目前，国内已对双星TDOA／FDOA 的目标定位精度进行了研究，获得了定位精度解析解。文献［1］通过计算TDOA 和FDOA 的测量精度，以及卫星运动引起的TDOA 和FDOA 的变化，提出了双星TDOA／FDOA 定位的信号最佳采样时间为10～100ms，系统可实现的定位精度为1～3km。文献［2］提出了一种获得目标三维解析解的方法，分析表明，为了减小定位误差大的区域，双星运动方向最好与卫星基线方向一致或接近。文献［3-4］分别描述了三星TDOA 定位精度的模型，对TDOA／FDOA的模型建立具有参考价值。文献［5-9］分别利用最小二乘融合估计、互模糊函数等方法建立了TDOA／FDOA 测量体制的数学模型。不过，上述文献都没有对TDOA／FDOA 定位的误差链及误差源的影响权重进行较系统的分析。本文通过分析双星TDOA／FDOA 的定位原理，给出了系统目标定位精度的解析解，解析解中包括星座构型、测量因素误差、辐射源因素等多种误差源。

2 TDOA／FDOA 定位的基本原理

双星TDOA／FDOA 定位系统由一主一副两颗低轨卫星组成，每颗卫星上都配置接收和处理模块。双星同时接收到一个有相对运动的辐射源所发射的信号，该信号到达两台接收机（卫星）的时间差确定了一个双曲面，而到达两台接收机的多普勒频移差则确定了一个类似于轮胎的曲面，这两组曲面与发射机所在曲面（通常为地球表面）的交点，即为辐射源的位置。由于双曲面和类轮胎面都是以接收机连线为对称轴，一般情况下，所得的解在卫星地面轨迹线的另一侧有镜像点，通过双天线比幅测量，可以去掉虚假点。TDOA／FDOA 定位原理见图1。

图1 双星TDOA／FDOA 定位原理Fig．1 Principle of dual-satellites location via TDOA and FDOA

如图1所示，目标辐射源的位置坐标记为u＝（x，y，z）T，两颗卫星Sat1和Sat2的位置坐标分别记为s1＝（x1，y1，z1）T和s2＝（x2，y2，z2）T，与辐射源的距离矢量分别为r1和r2，飞行速度矢量分别为V1和V2，对应速度分量大小分别记为v1＝（vx1，vy1，vz1）T和v2＝（vx2，vy2，vz2）T。TDOA／FDOA 定位原理的几何表示为

式中：TDOA为到达时间差；FDOA为到达频率差；f为辐射源射频频率；c为光速。

式（1）转换成代数方程，则为

式中：R为地球半径。

3 TDOA／FDOA 定位精度分析

3．1 定位精度评定模型

在双星TDOA／FDOA 定位原理的基础上，可以进一步推导出目标定位精度模型。对式（2）中的变量TDOA，FDOA，（x，y，z），（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（vx1，vy1，vz1），（vx2，vy2，vz2）进行一阶线性近似展开，可得

将式（3）记为

根据双星位置测量方式，将副星的位置测量精度［dx2dy2dz2］T拆分成绝对位置测量精度和相对位置测量精度，即［dx2dy2dz2］T＝［dx1dy1dz1］T＋［dx′2dy′2dz′2］T，其中，［dx′2dy′2dz′2］T为副星与主星的相对位置测量精度，［dx1dy1dz1］T为主星的绝对位置测量精度（近似认为是双星整体的绝对位置测量精度）。因此

设K1＝B1＋B2，K2＝B2，K3＝B3，K4＝B4，并认为两颗卫星的位置测量精度、速度测量精度、TDOA 测量精度、FDOA 测量精度互不相关，则利用矩阵相关运算得到

式中：M为TDOA 和FDOA 测量精度的相关矩阵；Ei为位置测量精度和速度测量精度的相关矩阵，i＝1，2，3，4。

目标定位精度σ用式（6）计算出的3个正交方向上的测量精度σx，σy，σz表示，即

从上面的分析结果可以看出，计算定位精度要用到M，Ei，即要计算TDOA 和FDOA 测量精度相关矩阵、位置测量精度及速度测量精度相关矩阵。

假设信号TDOA 及FDOA 的测量精度均值都为0，且互不相关，则TDOA 和FDOA 的测量精度相关矩阵为

这里认为绝对位置测量精度分量dx1，dy1，dz1是各自独立的随机变量，因此双星的绝对位置测量精度相关矩阵为

式中：σas为绝对位置测量精度。

综合考虑相对位置测量精度和测距精度，测量精度矩阵为

式中：σbs为相对位置测量精度，σd为双星测距精度。

双星的速度测量精度相关矩阵为E3和E4，表示为

3．2 定位精度影响因素

根据TDOA／FDOA目标定位原理和定位精度评定模型，可知目标定位精度受多种因素影响，如图2所示。

图2 定位精度影响因素分类Fig．2 Sort of location accuracy influencing factors

4 仿真分析

以双星几何中心星下点为圆心，计算覆盖区域内按极坐标均匀分布的每一点（共900点）的定位精度值。目标位置分布如图3所示。

根据目前星载电子设备的研制水平和三星TDOA测量星座的在轨飞行数据，按照以下基本参数进行仿真计算：高度为700km、星间距离为70km的太阳同步轨道，双星同轨同向飞行。各项测量精度指标为：TDOA 测量精度为100ns，FDOA 测量精度为10Hz，速度测量精度为1m／s，绝对位置测量精度为150m，相对位置测量精度为50m，星间测距精度为3m，这里认为各个测量量彼此相互独立。满足目标定位精度小于或等于目标斜距0．5%的区域为定位有效区域，定位因子为在此区域内满足定位要求的区域面积占总面积的比值。

图3 目标位置分布Fig．3 Distribution of target position

4．1 目标定位精度与轨道高度的关系

轨道高度分别为500km、1000km 的目标等定位精度曲线及满足定位有效区域的分布见图4。在2000km 的覆盖半径内，定位有效区域的定位精度均值、定位因子与轨道高度的关系曲线见图5。由图4、5可以看出：随着轨道高度的增加，可定位区域变小；在一定的轨道高度范围内，轨道越低，定位性能越好；对于同轨同向飞行的双星星座，在沿轨迹方向的定位效果较差，在穿轨迹方向的定位精度较好，且基本对称。

图4 两种轨道高度的等定位精度曲线Fig．4 Location accuracy curves at two orbit altitudes

图5 轨道高度与目标定位精度及定位因子的关系Fig．5 Relationships between orbit altitude and location accuracy and location gene

4．2 目标定位精度与星间基线长度的关系

随着星间基线长度的变化，覆盖半径2000km范围内的目标定位精度均值、定位有效区域的定位精度均值、定位因子与星间基线长度的关系，见图6。由图6可以看出，目标定位精度的大小与星间基线长度有关，在一定的星间基线长度（50～300km）范围内，星间基线越长，可定位的区域越大，覆盖区域的目标定位精度值越小，定位性能越好。其中：当星间基线过短时（小于50km），虽然定位有效区域的定位精度均值较好，但是定位有效区域急剧减小（如图6所示，在星间基线小于等于30km 时，定位因子为0，即定位有效区域为0，不能实现定位）。

图6 星间基线长度与目标定位精度及定位因子的关系Fig．6 Relationships between length of base line and location accuracy and location gene

4．3 目标定位精度与测量精度因素的关系

4．3．1 目标定位精度与位置、速度测量精度的关系

位置测量精度因素主要包括双星的绝对位置测量精度、相对位置测量精度和速度测量精度等。图7和图8反映了目标定位精度与上述因素的关系。

双星在星座构型、辐射源因素不变的情况下，位置测量精度、速度测量精度对目标定位精度、定位因子有一致性的影响，即测量精度提高时，定位精度提高，可定位区域增大。

位置测量精度中的绝对位置测量精度、相对位置测量精度、测距精度对目标定位精度影响较小，而速度测量精度对目标定位精度影响较大。在绝对位置测量精度从200m 提高到50m，相对位置测量精度从150m 提高到10 m 时，覆盖区域定位精度均值变化不超过3km。其中，星间测距精度对顶层定位精度影响较小，在星间测距精度变化为10m 时，定位有效区域的定位精度均值变化约6 m，相对于顶层定位精度指标（千米量级）是小量，其变化趋势有非线性变化的可能。在速度测量精度从2m／s提高到0．1 m／s时，定位精度均值从487km 变化到171km，有效定位区域的定位精度均值从5km 提高到3．4km，定位性能提高约1倍。

图7 位置测量精度与定位精度的关系Fig．7 Relationships between position accuracy and location accuracy

图8 速度测量精度与定位精度及定位因子的关系Fig．8 Relationships between velocity accuracy and location accuracy and location gene

4．3．2 目标定位精度与TDOA、FDOA测量精度的关系

在其他因素不变的情况下，单独分析TDOA测量精度的变化对目标定位精度的影响，见图9。单独分析FDOA 测量精度对目标定位精度的影响，见图10。综合分析TDOA 测量精度、FDOA测量精度对目标定位精度和定位因子的影响，见图11。

在TDOA 和FDOA测量精度中，FDOA 测量精度对目标定位精度影响较大，TDOA 测量精度对目标定位精度影响较小。TDOA 测量精度从10ns变化到200ns，覆盖区域定位精度均值仅有1．8km的变化；FDOA 测量精度从2 Hz变化到30 Hz时，覆盖区域定位精度均值变化了320km。

仅考虑测量精度的影响因素，各个测量因素误差源对定位精度的影响所占比例约为：卫星速度测量精度为51%；FDOA 测量精度为38%；绝对位置测量精度为6%；相对位置测量精度为2%；星间测距精度为2%；TDOA 测量精度为1%。

图9 TDOA 测量精度与定位精度及定位因子的关系Fig．9 Relationships between TDOA accuracy and location accuracy and location gene

图10 FDOA 测量精度与定位精度及定位因子的关系Fig．10 Relationships between FDOA accuracy and location accuracy and location gene

图11 TDOA 和FDOA 的测量精度与定位精度及定位因子的关系Fig．11 Relationships between TDOA／FDOA accuracy and location accuracy and location gene

4．4 目标定位精度与信号频率的关系

在其他因素不变的情况下，单独分析目标不同发射频率时的目标定位精度变化，见图12。

目标定位精度与信号源本身的发射频率有关，频率越高，定位精度越高，定位因子越大，定位区域越广。实际上，对应不同的发射频率，FDOA 测量精度是不同的，因此在不同的发射频率下，要设定不同的FDOA 测量精度仿真计算。对于宽频段的定位系统来说，低频段的定位精度较差，因此必须采取相应措施来保证整个频段的定位精度要求。

图12 不同信号频率情况下定位精度及定位因子的变化Fig．12 Change of location accuracy and location gene at different frequencies

5 结束语

本文在双星TDOA／FDOA 定位原理的基础上推导了目标定位精度的评定模型；结合定位精度模型及算例，分析了常见误差源与目标定位精度之间的关系。仿真结果表明：在一定的范围内，轨道高度越低、星间基线越长，定位性能越好。测量因素中的FDOA 测量精度和卫星速度测量精度是影响目标定位的关键因素，而TDOA 测量精度和位置测量精度的影响相对较小，因此，在工程实际中要尽量提高卫星的FDOA 和速度的测量精度。

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