冗余度机器人多目标优化的研究

宁英豪，贾 梦

（1.太原科技大学机械工程学院，山西 太原 030024；2.太原科技大学电子信息工程学院，山西 太原 030024）

0 引言

冗余度机器人由于存在多余的自由度，往往可以实现多种目标的优化，如避障、容错等。在多目标的优化中，比较常用的是将单个目标线性加权求和的方法，通过加权系数的选取体现单个目标的重要程度，故加权系数的选取影响着整个优化系统的性能。文献［1］中采用模糊控制的方法选取加权系数，但加权系数的非连续性易产生关节角振荡。本文提出了一种新的加权系数选取的方法，在体现单个目标重要程度的同时能够对其进行实时调整。

1 冗余度机器人的多目标优化

1.1 梯度投影法

1.2 加权因子的选取

在实际的运用中，由于加权系数wi的不当选取会产生不当的优化，因此，提出紧急度的概念。设Mimax、Mimin分别是目标函数的最大极限值和最小极限值（由实验取得），对于目标函数的紧急度si可描述为：

其中：hi为紧急度的自变量。hi越大，si也越大，表示此目标函数越需要优化。

优化力度是对冗余度机器人的性能指标函数Hi的可优化能力的度量。优化力度越大，说明目标函数的可优化能力越强。优化力度λi可表示为：

为了体现单个性能指标函数的重要性及在整体中所占的比例，令：

当优化指标函数Hi取极大化时，式（4）的系数取正号；反之，则取负号。

因此，新的加权因子表示为：

1.3 新的梯度投影法

在梯度投影法中，梯度提供一个优化方向的作用［2］。为了避免单一目标的梯度向量数量级不一致造成的算法失效，本文采用了规范化方法［3］：

经过式（6）处理后，各个单一目标梯度向量的数量级相同，而且不会影响其方向矢量的性质。文献［2］指出，梯度投影算法的失效往往是特解与齐次解的数量级悬殊过大，并提出了均衡比例因子的算法：

其中：α为阻尼因子，其值取0.4～1.5。

但当‖（I－J＋J）▽H‖趋于零时，会造成kb趋于无穷大，从而造成算法的失效。为此，取α＝1，将均衡比例因子改进为：

其中：ε为一个非零的正极小量，本文中ε＝0.01。综上所述，新的线性加权梯度投影算法可表示为：

其中：▽Hw的选取参考式（1）和式（6），k 的选取参考式（8）。

2 计算机仿真

2.1 计算机建模

2.2 优化性能函数的确立

（1）避免关节范围越限性能指标：

（2）避免奇异点的性能指标函数有以下两种形式：

一种是用可操作度w［4］表示避奇异点的性能指标函数：

其中：σi为雅克比矩阵的奇异值。

另一种是用条件数κ［5］表示避免奇异点的性能指标函数：

其中：σmax、σmin分别为雅克比矩阵的最大和最小奇异值。

条件数κ体现了雅克比矩阵向各个方向的变换均一性，κ≥1，条件数越小越体现出优良的综合性能。但由于条件数的梯度不易于表示成关于θ的函数，因此，用操作度表示避奇异点的性能指标函数：

在紧急度的计算时，κ比w 更加简便，故选择紧急度自变量h2＝κ，M2max＝10，M2min＝1.5。

2.3 仿真结果及其分析

加权因子wi体现出单个指标的重要程度（其值选取参考式（4）），关节角度和条件数分别体现出H1（θ）和H2（θ）的优化结果，故对其进行了数值仿真，函数H1（θ）与H2（θ）的加权因子的变化见图1，条件数κ的变化见图2。

图1 函数H1（θ）与H2（θ）的加权因子变化曲线

图2 条件数变化曲线

从图1可以看出，在大多的时间段内，关节范围优化H1（θ）的重要性要比H2（θ）的大。但在4s时，在图2中条件数κ有一个突增，指标函数H2（θ）恶化，故在图1中，H2（θ）的加权因子也随之增加，并超过函数H1（θ），H2（θ）的优化加强。

3 结论

本文提出了紧急度的概念，并用关于可优化度的函数作为放大因子，提出了一种新的加权线性梯度投影算法。通过计算机仿真，证明该方法能够对单个性能指标函数的重要性进行实时调整，实现整体的优化。

［1］ 郭大忠，柳洪义.冗余度机器人多目标模糊规划的研究［J］.机械与电子，2006（5）：42－44.

［2］ 吴瑞珉，刘延荣.一种新的冗余度机器人梯度投影算法［J］.机械工程学报，1999，35（1）：76－80.

［3］ Christopher D C.Failure recovery in redundant serial manipulators［D］.Austin：The University of Texas at Austin，2000：61－70.

［4］ Liegeois A. Automatic supervisory control of the configuration and behavior of mutibody mechanisms［J］.IEEE Trans Sys Man Cyber，1977（12）：868－871.

［5］ Maciejiewski A A. Fault tolerant properities of kinematically redundant manipulators［G］／／Proc of IEEE Inter Conf on Robotics and Automation.［s.1.］：IEEE，1990，638－642.