基于单频GPS精密单点定位算法研究

陈 蕾，许文桓

（国核电力规划设计研究院重庆有限公司，重庆 401121）

随着人们对GPS定位精度要求的不断提高，国内外学者已经给出了一些可能的静动态的精密单点定位模型［1－4］，在这些定位模型中，为了减少观测误差和噪声，消除电离层误差的伪距和载波相位组合等方法经常用到，然而，这种方法不能保证载波相位的整周模糊度的整数性，这就降低了定位精度，而且这种算法只限于双频GPS。

本文提出了一种针对廉价的单频GPS接收机新的精密单点定位算法，这种算法不需要伪距和载波相位观测量的线性组合，这样就保持了整周模糊度的整数性，提高了定位精度。在这个算法中，L1载波和基于C/A码的伪距用新的GPS回归方程和回归矩阵进行描述，这些回归方程和回归矩阵作为单频精密单点定位的观测模型。由电离层延迟、对流层延迟、卫星轨道误差、卫星钟误差和接收机钟差引起的载波相位和基于C/A码的伪距误差，利用合适的误差模型嵌入到回归方程中，用最小二乘估计所有的未知参数，在估计的过程中，考虑观测噪声的随机属性，提高参数估计的可靠性和缩短收敛时间。此外，由于每一历元的观测数据都可以连续得到，这样就可以应用卡尔曼滤波得到单频精密单点定位回归方程。

1 算法模型

1.1 单频精密单点定位回归方程

将L1载波相位和基于C/A码的观测定位数据公式［5－9］化为

式中：u≡［xu，yu，zu］T为测站位置坐标向量；sp≡［xp，yp，zp］T为卫星P的坐标向量（t）为t时刻测站u到卫星P的伪距；（t）为t时刻L1载波的相位观测值；τpu为测站u到卫星P的信号传播时间；λ1：L1载波的波长，数值为0.190 3m；δIpu（t）、δTpu（t）为电离层、对流层延迟误差；δtu（t）、δtp（tτpu）为接收机在t时刻和卫星在t－τpu时刻的钟差；为L1载波的整周模糊度；为测量误差；rpu（t，t－τpu）为t时刻测站到t－τpu时刻卫星P的几何距离。

为了方便表示将

式中，卫星坐标xp，yp，zp可以通过导航电文得到，但包含有轨道误差，本文通过卫星精密星历轨道化消除了轨道误差，达到了精密定位的精度。定义＾sp为已经计算出来的卫星的精确坐标，下面为了算法的简捷叙述将t，t－τpu省略。

由导数关系可以得到

将式（3）在u＝，（j＝1），sp＝＾sp进行一阶泰勒展开为

这样式（1）和式（2）转变为

式中：

将式（6）和式（7）用向量矩阵表示为

式中：

υu≡［，］T，I定 义为ns×ns单 位 矩阵，0定义为［1，1，…，1］T的ns×1向量。

为了得到θu的最小二乘估计，下面考虑未知参数和回归方程的个数，从上述可以看出未知变量有4＋7ns个，即u：3，cδtu：1，s：3ns，cδts：ns，δIu：ns，δTu：ns，NL1，u：ns，而回归方程个数为2ns，这样就得不到θu的最小二乘解。如果已经计算出了卫星的位置坐标s，卫星钟差cδts，电离层改正和对流层改正δIu，δTu。可得

此方程即为单频GPS精密单点定位的观测模型。式中：

在这种情况下，回归方程的个数为8ns，当ns≥4，8ns≥4＋7ns，这样就可以计算出未知参数的准确值。当ns＜4时，系数矩阵H＾u（j），E是奇异的，这时不能够得到θ的确切值。

对于式（10）来说，θu的最小二乘估计值是这样得到的［10－11］：

式中：R≡Cov［υu，E］，其误差方差为

1.2 卡尔曼滤波应用于单频精密单点定位

1.2.1 卡尔曼滤波的观测方程

由式（10）可得

式（13）即为卡尔曼滤波的观测方程。

1.2.2 状态向量

在静态定位时，点位的三维坐标、接收机钟差和模糊度是必须要估计的，因此，定义静态位置状态向量

动态定位时，需要运动物体的数学模型，将接收机的速度假定为一阶马尔可夫过程［12－13］，因此，定义动态向量

对于这2种情况，接收机钟差cδtu也假定为一阶马尔可夫过程，可以得出下面的状态方程：

式中，状态转移矩阵为

式中：I为3×3阶单位矩阵，D为n维对角矩阵，对角元素取值为（2n－1）/（2n＋1），n＝100，Φck＋1，k＝为采样率。

式中：F为n维对角矩阵，对角元素为：2n/（2n＋1），n＝100。w为系统噪声，系统噪声协方差矩阵为

式中：Sdt，S˙dt参考Allan协方差参数［14］，Qξ为n维对角矩阵，对角元素取值为0.3P，P为用户量程精度，可以从卫星星历中求取。从式（13）和式（16）可见，观测方程可以表示为

误差

其协方差矩阵

式中：P（t｜t－1）是滤波过程中η（t｜t－1）的方差矩阵，一般情况下v（t）是均值为0，方差为M（t）的白高斯噪声［11］。

2 算例分析

实验采用本文提出的单频精密单点定位模型，GPS定位的所有误差都必须考虑，主要通过2种途径来解决：①对能精确模型化的误差采用模型改正，如地球旋转改正、相对论效应等都可以采用现有的模型精密改正。②对于不能精确模型化的误差以参数形式进行估计，比如电离层延迟改正，目前还难以用模型精确模拟，则以参数对其进行估计。用载波相位变化率和切比雪夫多项式探测与修复周跳，用IGS网站提供的精密星历对卫星轨道和卫星钟差进行拟合求值。

实验用卡尔曼滤波对动态数据进行精密单点定位，采用数据为2008－03－11的观测数据，采样率为1s，观测时卫星数目都在6～8颗，卫星截止高度角为10°，采用事后处理方式，实验点的精确坐标前文已经叙述由差分载波相位模型精确得出。得到的单频精密单点定位结果与实验点的精确坐标进行对比，X，Y，Z坐标差如图1、图2、图3所示，观测值均方根差随历元变化，如图4所示。

图1 单频精密单点定位结果X方向与真值差值图

3 结 论

从上述图中可以看出在Z方向比在水平X，Y方向有较大的偏差，Z方向收敛的时间大于水平方向。对于所有的数据单频GPS精密单点定位能够得到比较高的精度，而且定位结果比较稳定，在X方向的偏差小于50cm，在Y方向的偏差小于70cm，在Z方向的偏差小于1m，均方根在30～38cm之间。

［1］Sugimoto S，Kubo Y.GNSS Regressive Models and Precise Point Positioning，Proc.36th ISCIE International Symposium on Stochastic Systems Theory and its Applications，Oct.pp.159－164，2004［C］.Saitama：ISCIE，2004.

［2］Sugimoto S，Kubo Y.Carrier－Phase－Based Precise Point Positioning－a novel approach based on GNSS regression models，Proc.GNSS 2004 Symposium，Dec.P94，2004［C］.Sydney：GNSS，2004.

［3］Kubo Y，Kitao S，Fujita S，et al.A New RTK Algorithm for Carrier－Phase－Based Precise Point Positioning Based on GNSS Regression Models，Proc.18th Int.Tech.Meeting of the Satellite Division of The Institute of Navigation，Sep.pp.1492－1499，2005［C］.Long Beach，CA：ION GNSS，2005.

［4］Gao Y，Shen X.A New Method for Carrier－Phase－Based Precise Point Positioning［J］.Journal of The Institute of Navigation，2002，49（2）：109－116.

［5］Beran T，Kim D，Langley R B.High－Precision Single－Frequency GPS Point Positioning，Proc.16thInt.Tech.Meeting of the Satellite Division of The Institute of Navigation，Sep.pp.1192－1200，2003［C］.Portland，OR：ION GPS/GNSS，2003.

［6］Salam M A，Gao Y.Ambiguity Resolution in Precise Point Positioning：Preliminary Results，Proc.16th Int.Tech.Meeting of the Satellite Division of The Institute of Navigation，Sep.pp.1222－1228，2003［C］.Portland，OR：ION GPS/GNSS，2003.

［7］Le A Q.Achieving Decimetre Accuracy with Single Frequency Standalone GPS Positioning，Proc.17thInt.Tech.Meeting of the Satellite Division of The In－stitute of Navigation，Sep.pp.1881－1892，2004［C］.Long Beach，CA：ION GNSS，2004.

［8］Teunissen P J G，Kleusberg A（Eds.）.GPS for Geodesy［M］.2nd edition，Berlin：Springer－Verlag，1998.

［9］Leick A.GPS Satellite Surveying［M］.3rd edition，New York：Johon Wiley ＆Sons，2003.

［10］Sugimoto S，Kubo Y，Kumagai H.GPS Naviga－tion Algorithms and Estimation－Detection Theory，Systems，Control and Information［J］.ISCIE，2002，46（5）：276－285.

［11］Gelb A.Applied Optimal Estimation［M］.MIT Press，Massachusetts，1974.

［12］Uratani C，Sone K，Muto Y，et al.Dynamical Models for Carrier－Phase Kine－matic GPS Positioning，Proc.16th Int.Tech.Meeting of the Satellite Division of the Institute of Navigation，Sep.pp.809－818，2003［C］.Portland，OR：ION GPS/GNSS，2003.

［13］Muto Y，Kubo Y，Uratani C，et al.New Dynamical Models for Kinematic GPS Positioning，Proc.17th Int.Tech.Meeting of the Satellite Division of The Institute of Navigation，Sep.pp.2519－2528，2004［C］.Long Beach，CA：ION GNSS，2004.

［14］BROWN R G，HWANG PY C.Introduction to Random Signals and Applied Optimal Estimation［M］.2nded.New York：Wiley，1992.