顾及EGM2008和残差地形模型的GPS高程转换方法研究

谷延超，范东明

（西南交通大学 测量工程系，四川 成都 610031）

为了克服水准测量在山区和丘陵地区实施困难的缺点，GPS大地高转换为正常高以代替水准测量则是山区水准测量的有效方法之一［1－4］。GPS高程转换即将以参考椭球面为基准面的GPS大地高通过某种特定的函数转换为以似大地水准面为基本面的正常高，即精确确定高程异常。确定高程异常大致可分为数学拟合法和重力法两大类［2－4］。数学拟合法，其本质为利用似大地水准面的连续光滑性，使用一定的数学曲面来拟合高程异常，但是数学拟合并不能够真实地反映似大地水准面的变化。由于在重山区似大地水准面变化不平稳，数学拟合法使用效果并不理想［2］。重力法是指利用局部或者全球重力数据求解高程异常，将GPS大地高转换为正常高。重力法充分利用了地球物理场，但由于重力数据缺乏和重力场模型精度对于工程应用而言较低，所以工程建设一般都不采用重力法直接进行GPS高程转换。

由于地球重力场模型能以一定的分辨率精确表达地球重力场中长波信号，但小于该分辨率的重力场短波信号则遗失，使得利用地球重力场求解高山区高程异常存在信号遗失［5］。而地形数据则能够较细致地表达地球重力场短波信号，但其对地球重力场中长波信息表达欠佳。故可结合地球重力场和地形数据精确求解高程异常。

本文首先利用SRTM数据（Shuttle Radar To－pography Mission）求得残差地形模型（RTM）数据，获取地球重力场短波信号，然后利用重力场模型求解地球重力场中长波信号，恢复地球重力场全波段信号，最后利用合理的数学拟合法消除系统误差。实验证明该方法能较好地恢复地球重力场全波段信号，在地形起伏较大的山区能提高GPS高程转换精度，并且不受数据限制，能应用于各类工程，体现该方法的有效性、实用性和优越性。

1 EGM2008高程异常

EGM2008模型是由美国国家地理空间情报局地球重力场研发小组释放的全球超高阶地球重力场模型，EGM2008模型达到2 159阶次（球谐系数可扩展至2 190，阶次为2 159），因此，它能以约5′的空间分辨率计算扰动位T和重力相关量如重力异常Δg和高程异常ζ等［5－6］。

地球重力场球谐函数模型例如EGM2008由一系列完全正常化的球谐函数系数组成，根据球谐函数连续叠加可计算扰动位T，利用Bruns公式可求得地面上任意一点的高程异常［3］

式中：（r，θ，λ）为以地球质心为坐标原点、Z轴与地球自转轴重合的坐标系中的球坐标（其中r为向径，θ为余纬，λ为经度），γ为该点的正常重力值，Pnm（cosθ）为完全正常化勒让德缔结函数，Cnm，Snm为完全正常化扰动位系数，m为实际地球引力位减去正常引力位的系数，a＝6.378 136 46×106m为参考椭球长半轴，nmax为系列地球重力场模型展开的球谐函数最高阶数，fM＝3.986 004 415×1014m3s－2为地心引力常数。

2 RTM高程异常

由于球谐函数展开截止至2 159阶，EGM2008不能够体现地球重力场中波长小于5′的高频信息。这将在求解扰动位时产生信号遗失，同时高程异常求解时也将产生相似的信号遗失误差［5］。

SRTM是美国航天飞机飞行中利用雷达测图技术得到的数字地表模型（DSM），可获取分辨率为3″（约90m）的数字高程数据HSRTM［5］。SRTM高程数据的精度已经由多位研究者加以验证，通过与各国的国家高程坐标数据库进行对比，精度在平坦地区可以达到4～6m，在山地差距将达到11～14m［5，7］。

地球重力场模型结合数字地形模型能够更有效地利用地形和重力场的短波信号的强相关性，故残差地形模型（RTM）数据可以用来重建地球重力场短波信号。

2.1 SRTM构建RTM数据

RTM数据由DTM减去一个平滑的参照网格。如果参考网格选择与球谐函数的最大阶次保持一致，RTM数据将增加球谐函数最大阶次以上信号。该方法可使球谐函数高程异常的波段信号增加，同时减小信号遗失误差。本文使用SRTM通过高通滤波求解平滑参考面，利用SRTM数据和平滑参考面构建RTM数据［5］。高通滤波求解平滑参考面。

式中：H为DTM数据矩阵，（k，l）为平滑参考面格网中心对应的DTM矩阵的坐标。参数n可通过滤波窗口的大小ω和DTM分辨率Δx计算。

为了确保建立平滑参考面和EGM2008的球谐函数展开的最高阶次相同，窗口宽度ω应与球谐函数展开的空间分辨率保持一致，为2 159阶次对应5′的窗口。

根据式（2）、式（3）求得平滑参考面，将SRTM数据与平滑面相减可得残余地形模型

2.2 RTM高程异常计算

根据位理论和Bruns公式可得［1，3］

式中：Tr为残余地面模型引起的扰动位，r为积分主体到地面点的距离，G为万有引力常数（G＝6.673×10－11m3s－2g－1），ρ为 质 量 密 度（ρ＝2.670×103kgm－3），hr为参考面高程，h为流动点高程。利用RTM数据恢复地球重力场短波信号时，用hr＝0和h＝zRTM。

由于顾及EGM2008和RTM数据求解的高程异常与实际工程基准面存在高程基准不一致等系统偏差，因此，需要在上述基础上利用多项式拟合系统误差。

式中：a0，a1，a2为二元一次曲面拟合参数；（x，y）为拟合点的重心化坐标。当GPS/水准点个数多于3个时，可通过最小二乘方法求解拟合参数。

3 实例分析

本文以某隧道洞外GPS控制网为例进行方法验证，隧道全长约7km，在隧道进出口以及斜井处布设15个GPS点，并按照三等水准测量的要求对各点进行联测。图1为GPS控制点分布图，该隧道区域内，隧道穿越的山岭最高处可达1 030m，最低处约为540m，高差可达400m。从图1可以看出该区黄土冲沟发育，该隧道山区呈“V”形。控制点GPS7847和GPS7848位于谷底周围，高程较低，其余各点的高程大致相等。

图1 控制点分布示意图

首先根据式（1）求解各GPS控制点的EGM2008高程异常，然后按照式（2）～（4）构建RTM数据，根据式（5）计算RTM高程异常。下面以控制点“1×4”为例介绍RTM高程异常。

图2为控制点“1×4”为中心的SRTM高程数据，由图可知：控制点位于山脚，控制点周围高程变化比较明显，高差约为200m；在半径200km的范围内西部变化较为平稳，而东部变化剧烈，高差可达1 500m，为明显的山区地貌。

图2 SRTM高程数据

图3为由SRTM数据构建的控制点“1×4”RTM数据，经过去除参考面高程的RTM高程变化平缓，但地形急剧变化区域RTM变化较大，图中可发现仅在河谷和重山区高程变化较大，高差可达到1 200m，表明RTM高程代表地球重力场小于EGM2008的最高分辨率（约为5′）的短波信号在山区不能够忽视，需加以考虑。

图3 RTM高程数据

图4为控制点“1×4”的RTM高程异常中心局部图，可得出控制点附近的地形对高程异常影响较大。RTM高程异常并不随着距离的增大而消失，故确定合理的积分半径也将影响RTM高程异常［2，5］。

图4 RTM高程异常局部图

图5为控制点“1×4”的RTM高程异常数据与积分半径间的关系。可发现：积分半径达到160km时，RTM高程异常趋于稳定。试验表明其他控制点在积分半径达到160km时RTM高程异常也趋于稳定，故本试验选取积分半径R＝200km。

图5 积分半径与RTM高程异常

对所有控制点数据进行EGM2008高程异常和RTM高程异常求解后，做以下分析：首先在大地高的基础上进行EGM2008高程异常改正，称为方法1；然后继续进行RTM高程异常改正，称为方法2；最后采用二元一次曲面拟合消除系统误差，本试验固定GPS201、进2、1×4和2×4四个控制点，计算拟合参数，进而求解其他点的拟合高程异常改正数，称为方法3。将3种方法求解的正常高与实际正常高比较，见表1，并计算各种方法的外符合精度

表1 3种方法的比较

式中：V表示检查点求解的正常高与实测值的差值，n为GPS控制点的数目，t为固定点个数。

通过表1分析可得：

1）EGM2008在该山区的精度较高，与该区域内的真实高程异常的中误差为±4.2cm，表明EGM2008地球重力场模型在我国适用。

2）加入RTM高程异常，在一定程度上恢复了EGM2008的遗失信号，EGM2008高程异常和RTM高程异常组合与该区域内的真实高程异常的均方根误差为±2.6cm，较仅进行EGM2008高程异常改正提高约40%，表明RTM高程异常能够有效地提高GPS高程转换的精度。

3）利用二元一次曲面拟合存在的系统误差，可以有效地提高GPS高程转换的精度，实现基准转换，使得求解结果与我国高程系统一致。

4 结束语

本文分析了EGM2008地球重力场的信号遗失问题，利用RTM数据恢复遗失信号；重点通过SRTM高程数据建立RTM高程数据，计算RTM高程异常恢复高程异常短波信号；利用二元一次曲面拟合系统误差。通过实验对比：顾及EGM2008和残差地形模型的高程异常较仅使用EGM2008求解的高程异常的精度有较大提高，利用二元一次曲面拟合系统误差可使GPS高程转换达到厘米级精度。同时利用EGM2008和残差地形模型也为局部或区域性的似大地水准面精化提供参考。该方法基于公共数据（EGM2008和SRTM），数据资源公共开放，使得其应用于各类工程实践成为可能。

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［6］http://earth－info.nima.mil/GandG/wgs84/gravitymod/egm2008/index.html.

［7］陈俊勇，对SRTM3和GTOPO30地形数据质量的评估［J］.武汉大学学报：信息科学版，2005，30（11）：941－942.