带反馈项的n类物种竞争模型的正周期解的存在性

张雪梅，刘衍胜

(山东师范大学数学科学学院，山东济南250014)

1 引言

种群竞争模型一直是人们比较关注的课题之一，在有关生态系统的竞争模型中，Lotka-Volterra竞争模型是比较重要的一个，对它的研究主要集中在确定状态下的方程所反映出的一些性质。1973年，Gilpin和Ayala提出了对Lotka-Volterra竞争模型的一个修正，即Gilpin-Ayala竞争模型，这类模型比Lotka-Volterra模型更具有一般性并贴合实际。近年来，随着对数学生态系统的深入研究，许多文献对其持久性、衰亡性和周期解或概周期解的全局吸引性进行了探讨［1－5］。另一方面，在实际的生态环境中，由于种群数量受多种因素的影响，物种密度并非连续的减少，有时有人为的数量补充，即具有一定的数量反馈［6－7］。利用Krasnoselskii不动点定理，文献［2］得到了带反馈项和时滞的微分方程

至少一个正周期解的存在性。文献［5］利用锥上的不动点定理给出了具有非自治的带反馈项和时滞的Lotka-Volterra多种群竞争模型正周期解存在的充分必要条件，并讨论了其周期解的全局渐近稳定性。

文献［3］利用迭合度讨论了含脉冲的n类物种竞争模型周期解的存在性及其解的保持性和吸引性。

本文讨论如下非自治的带有反馈项的Gilpin-Ayala多物种竞争模型

其中yi(t)代表第i类物种Yi在t时刻的密度，ri(t)代表第i类物种Yi在t时刻的自然生长率，aij(t)，bij(t)表示物种间的竞争强度，αij，βij(i≠j)表示物种间的相互作用，τij(t)，δi(t)，σi(t)为依赖时刻的时滞，ui(t)表示间接反馈控制量，i，j=1，2，…，n。

本文所研究的系统(1.4)形式与(1.1)，(1.2)，(1.3)有很大的不同，一是种群竞争系统具体化，研究多种物种之间的竞争关系;二是舍去脉冲影响，考虑到反馈控制问题。我们首先将系统(1.4)转换为相应的积分方程，并给出一些引理，将正周期解的存在问题转化为算子不动点的存在问题。其次，利用锥上的不动点理论讨论系统(1.4)的正周期解的存在性。

为了方便起见，始终假设下列条件成立:

(H3)αij，βij≥ 1，i，j=1，2，…，n;

(H4)τij，σi，δi∈C1(R，R)是ω-周期函数，且1-˙τij＞0，1-˙σi＞0，1-˙δi＞0。

2 预备知识

定义2.1［5］向量函数v(t)=(v1(t)，v2(t)，…，vn(t))，t∈R(或R+)是正的，若其中所有元素vi(t)都是正的;v(t)称为 ω-周期函数，若对任意 t∈R(或R+)，都有 vi(t)=vi(t+ ω)，i=1，2，…，n。

为了证明本文的主要结论，需要以下引理:

首先，我们将系统(1.4)转化为另一种形式。假设(y(t)，u(t))是系统(1.4)的一个解，将(1.4)的第二个式子从t到t+ω积分，可得

其中

因此，系统(1.4)等价于

其中

显然，由条件(H2)和(2.3)式，容易推得 Gi(t，s)(i=1，2，…，n)有如下性质:

(1)Gi(t，s)＞ 0(t，s)∈ R2，且 Gi(t，s)=Gi(t+ ω，s+ ω);

(2)A ≤ Gi(t，s)≤ B，∀(t，s)∈ R2，其中

为了方便，下面定义算子F:P→E，(Fy)(t)=((Fy)1(t)，(Fy)2(t)，…，(Fy)n(t))，

则系统(1.4)可写为

类似于文献［5］，容易推得:

引理2.2 T:P→P是全连续算子。

引理2.3 系统(1.4)有正周期解等价于T在P{θ}中有非零不动点。

3 主要结果

取 R=max{r，R1}，令 Ω2= {y(t)=(y1(t)，y2(t)，…，yn(t))∈E|yi|0＜ R，i=1，2，…，n}，则Ω2={y(t)=(y1(t)，y2(t)，…，yn(t))∈E 存在j0(1≤j0≤n)，使得yi0=R，当 i≠ j0时，yi0≤R，i=1，2，…，n}。

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