相对论谐振子解析逼近解的构造

孟艳平, 孙维鹏, 张皆杰

(1. 长春工程学院 机电学院, 长春 130012； 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012)

0 引 言

(1)

(2)

(3)

把方程(3)代入方程(1), 得

(4)

不失一般性, 考虑如下初始条件:

(5)

(6)

1 问题求解

(7)

fu(u)=[1-f2(u)]3/2,

(8)

积分式(8), 得

(9)

因而, 对应的关于u的非线性振动方程为

(10)

引入一个新的独立变量τ=ωt, 则方程(10)可以改写成如下形式:

Ω(1+u2)u″2-u2=0,u(0)=A,u′(0)=0,

(11)

(12)

利用单项谐波平衡法, 取满足方程(12)的初始逼近为

u1(τ)=Acosτ.

(13)

先将方程(13)代入方程(12), 再将结果方程展为Fourier级数, 并令常数项为零, 得

(14)

于是, 得到了方程(11)的第一个解析逼近周期和周期解:

(15)

下面结合牛顿方法和谐波平衡法建立方程(11)的第二个解析逼近解. 首先, 由牛顿方法, 方程(11)的周期解u(τ)和频率的四次方Ω(A)可表示为

u=u1+Δu1,Ω=Ω1+ΔΩ1.

(16)

把式(16)代入方程(11), 再将结果方程关于Δu1和ΔΩ1线性化, 得

(17)

式中: Δu1是一个关于τ的周期为2π的周期函数, 待求的Δu1和ΔΩ1可由谐波平衡法确定.

为了获得第二个解析逼近解, 可令满足方程(17)中初条件的Δu1(τ)为

Δu1(τ)=r1(cosτ-cos 3τ).

(18)

将式(18)代入方程(17), 再把结果方程展开为Fourier级数, 并令常数项和cos 2τ项的系数分别为零, 有

8A(Ω1-1-Ω1A2)r1+A2(4+3A2)ΔΩ1=0,

A4Ω1-4AΩ1(16+11A2)r1+4A2(1+A2)ΔΩ1=0.

(19)

解关于r1和ΔΩ1的线性代数方程组(19), 得

(20)

因此, 得到了方程(11)的第二个解析逼近周期和周期解：

u2(τ)=u1(τ)+Δu1(τ)=X(A)cosτ+Y(A)cos 3τ,

(21)

式中:

基于方程(11)的第二个逼近解, 方程(11)的周期解u(τ)和频率的四次方Ω(A)可以进一步表示为

u=u2+Δu2,Ω=Ω2+ΔΩ2.

(22)

把方程(22)代入方程(11), 再将结果方程关于Δu2和ΔΩ2线性化, 得

(23)

式中, Δu2是一个关于τ的周期为2π的周期函数, 待求的Δu2和ΔΩ2仍然可由谐波平衡法确定. 为了获得第三个解析逼近解, 可令满足方程(23)中初条件的Δu2(τ)为

Δu2(τ)=z1(cosτ-cos 3τ)+z2(cos 3τ-cos 5τ).

(24)

将式(24)代入方程(23), 再把结果方程展开为Fourier级数, 并令常数项、 cos 2τ和cos 4τ的系数分别为零, 则z1,z2和ΔΩ2的关系分别为

g1(Ω2,A)z1+g2(Ω2,A)z2+g3(Ω2,A)ΔΩ2=g4(Ω2,A),

(25)a

h1(Ω2,A)z1+h2(Ω2,A)z2+h3(Ω2,A)ΔΩ2=h4(Ω2,A),

(25)b

m1(Ω2,A)z1+m2(Ω2,A)z2+m3(Ω2,A)ΔΩ2=m4(Ω2,A),

(25)c

其中:

因此, 方程(11)的第三个解析逼近周期和周期解为

u3(τ)=(A+r1+z1)cosτ+(-r1-z1+z2)cos 3τ-z2cos 5τ,

(26)

其中:

重复上述过程, 可以建立更高阶的解析逼近周期和周期解.

2 结果与讨论

对方程(11), Mickens[3]利用单项谐波平衡法得到了如下解析逼近解：

(27)

由于Mickens在计算中忽略了一个三角函数公因子, 因此使得式(27)给出的逼近频率与式(15)不同.利用LHB方法[4]直接求解方程(10), Beléndez等[7]得到了两个解析逼近频率ωB1和ωB2. 由于这些解是振幅的隐式函数, 因此通常以椭圆积分的形式表达. 对方程(11)变形, 应用NHB方法[8-9], Beléndez等[10]得到了两个解析逼近周期和相应的周期解: 第一个解析逼近周期TB1与本文结果(15)相同; 第二个解析逼近周期TB2为

(28)

Beléndez等给出的第二个解析逼近频率(28)与本文结果式(21)不同, 是因为前者利用NHB方法时是对频率平方进行线性化, 而不是频率的四次方.

对于非线性振子(10), 它的精确周期可表示为

(29)

为了比较各解析逼近周期解TM(式(27)),T1(TB1)(式(15)),TB2(式(28)),T2(式(21))和T3(式(26)), 将它们与精确周期Te(式(29))的比值列于表1.

表1 各解析逼近周期与精确周期的比较

进一步, 有

(30)

由表1和式(30)可见, 本文给出的解析逼近解在振幅A全部取值范围内都有较高的逼近精度, 特别是第三个解析逼近周期T3(式(26))的最大相对误差小于0.22%. 解析逼近周期TB2(式(28))与T2(式(21))对应的周期解具有相同谐波子cosτ和cos 3τ, 且后者的精度高于前者.

当A=1,4,10时, 精确周期解xe(t)(数值积分方程(6))和各解析逼近周期解x1(t)(式(15)),x2(t)(式(21))和x3(t)(式(26))在一个周期内的变化曲线分别如图1～图3所示. 由图1～图3可见, 解析逼近周期解x2(t)和x3(t)具有很高的逼近精度. 一般地, 本文得到的第一个解析逼近周期解x1(t)也可以接受.

图1 当A=1时各解析逼近周期解 与精确解的比较Fig.1 Comparison of approximate periodic solutions with exact solution for A=1

图2 当A=4时各解析逼近周期解 与精确解的比较Fig.2 Comparison of approximate periodic solutions with exact solution for A=4

图3 当A=10时各解析逼近周期解与精确解的比较Fig.3 Comparison of approximate periodic solutions with exact solution for A=10

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