半群DOn中理想的秩和相关秩

罗 永 贵

(贵州师范大学 数学与计算机科学学院, 贵阳 550001)

0 引 言

一个有限半群S的秩通常定义为rank(S)=min{A:A⊆S, 〈A〉=S}, 半群S及其子半群V之间的相关秩定义为

r(S,V)=min{A:A⊆S,A∩V=Ø, 〈A∪V〉=S}.

对于有限半群的秩及其相关秩的研究目前已有许多结果[1-10].

设[n]={1,2,3,…,n}(n≥3)并赋予自然数的大小序.Tn与Sn分别表示[n]上的全变换半群和对称群, Singn=TnSn是[n]上的奇异变换半群. 设α∈Singn, 若对任意的x,y∈[n],x≤y⟹xα≤yα, 则称α是保序的. 记On为[n]上的保序有限奇异变换半群. 若对任意的x,y∈[n],x≤y⟹xα≥yα, 则称α是反序的. 记Dn为[n]上所有反序变换构成的集合. 令DOn=On∪Dn. 显然,DOn是Singn的子半群, 称为保反序有限奇异变换半群. 记

LD(n,r)={α∈DOn: Imα≤r} (1≤r≤n-1),

本文在文献[1-3]的基础上考虑保反序有限奇异变换半群DOn的双边理想LD(n,r)的秩及其相关秩, 证明了如下结果:

定理1设n≥3, 1≤r≤n-1, 则Jr是LD(n,r)的生成集, 即LD(n,r)=〈Jr〉.

1 预备知识

设P,Q是自然序集[n]的非空子集, 若对任意的a∈P,b∈Q有a

Kerα={(x,y)∈[n]×[n]:xα=yα},

对任意的t∈Imα,tα-1表示t的原象集. 设α∈LD(n,r), 如果xyα-1. 若Imα=k(1≤k≤r≤n-1), 则由保反序性容易验证α有如下表示法(称为α的标准表示):

其中每个Ai(i=1,2,…,k-1,k)都是凸集, 并且A1A2>…>Ak-1>Ak,a1

为叙述方便, 这里引用Green-等价关系[11]. 文献[3]对半群LD(n,r)的L,R,J有如下刻划: 对任意的α,β∈LD(n,r),

(α,β)∈L ⟺ Imα=Imβ,

(α,β)∈R ⟺ Kerα=Kerβ,

(α,β)∈J ⟺ Imα=Imβ.

LD(n,1)⊂LD(n,2)⊂…⊂LD(n,n-2)⊂LD(n,n-1)=DOn.

本文未定义的术语及符号参见文献[12-17].

2 定理的证明

引理1J1⊆J2·J2.

情形1) 若a=1, 令

则β,γ∈J2且α=βγ.

情形2) 若a=n, 令

则β,γ∈J2且α=βγ.

情形3) 若1

则β,γ∈J2且α=βγ.

引理2对2≤k≤r-1, 2≤r≤n-1, 有Jk⊆Jk+1·Jk+1.

证明: 对任意的α∈Jk, 设α的标准表示为

这里每个Ai(i=1,2,…,k-1,k)都是凸集, 并且A1A2>…>Ak-1>Ak,a1

由于2≤k≤r-1≤n-2, 因此必存在i∈{1,2,…,k-1,k}, 使得Ai≥2. 若α是保序的, 则记x=minAi; 若α是反序的, 则记x=maxAi. 下面分3种情形证明存在β,γ∈Jk+1, 使得α=βγ.

情形1) 若a1≠1, 令

则β,γ∈Jk+1且α=βγ.

情形2) 若ak≠n, 令

则β,γ∈Jk+1且α=βγ.

情形3) 若a1=1且ak=n, 结合2≤k≤n-2知, 存在j∈{2,3,…,k-1,k}, 使得aj-aj-1>1.

① 如果i

则β,γ∈Jk+1且α=βγ.

② 如果i=j, 令

则β,γ∈Jk+1且α=βγ.

③ 如果i>j, 令

则β,γ∈Jk+1且α=βγ.

2.1 定理1的证明

由引理1和引理2可知, 对任意的α∈LD(n,r)都可以表示为LD(n,r)的顶端J-类Jr中秩为r的元素的乘积或α∈Jr. 即Jr是LD(n,r)的生成集,LD(n,r)=〈Jr〉.

引理3设α,β∈LD(n,r), 若(α,β),(α,αβ)∈J, 则(αβ,β)∈L, (α,αβ)∈R.

证明: 设α,β∈LD(n,r), 若(α,β),(α,αβ)∈J, 则Imα=Imβ=Im(αβ). 再由Im(αβ)⊆Imβ, Kerα⊆Ker(αβ)与Xn的有限性知, Im(αβ)=Imβ, Kerα=Ker(αβ), 即(αβ,β)∈L, (α,αβ)∈R.

注意到当r=1时, J1中共有n个L-类和1个R-类, 且每个H=R∩L仅有一个保序的元素, 因此, 有:

推论2设自然数n≥3, 则rank(LD(n,1))=n.

2) 这m个幂等元都是保序变换.

其次, 对任意的α∈Jr, 分两种情形验证α∈〈M〉, 即Jr⊆〈M〉.

1) 若存在i,j∈{1,2,…,m-1,m}, 使得Kerα=Kerαi, Imα=Imαj.

① 若α是保序的, 则当i

α=αiαi+1…αm-1αmα1α2α3…αi-1αi…αm-1αm;

当i=j=m时, 有α=αmα1α2α3…αm-1αm; 当i=jj时, 有

α=αiαi+1…αm-1αmα1α2α3…αi-1αiαi+1…αm-1αmα1α2…αj-1αj.

② 若α是反序的, 则当i

α=αiαi+1…αj-1αj…αm-1αmα1α2…αi-1αiαi+1…αj-1αj;

当i

α=αiαi+1…αm-1αmα1α2…αi-1αi;

当i>j时, 有α=αiαi+1…αm-1αmα1α2…αj-1αj.

① 若α是保序的, 则当j=1时, 有β=βi; 当2≤j≤m时, 有

α=αjαj+1…αm-1αmα1α2…αj-1αjαj+1…αm-1αmβi.

② 若α是反序的, 则当1≤j≤m时, 有α=αjαj+1…αm-1αmβi.

2.2 定理2的证明

2.3 定理3的证明

当1≤l

[1] Gomes G M S, Howie J M. On the Ranks of Certain Semigroups of Order-Preserving Transformations [J]. Semigroup Forum, 1992, 45(1): 272-282.

[2] Garba G U. On the Idempotent Ranks of Certain Semigroups of Order-Preserving Transformations [J]. Portugaliae Mathematica, 1994, 51(2): 185-204.

[3] Fernandes V H, Gomes G M S, Manuel M J. Congruences On Monoids of Order-Preserving or Order-Reversing Transformations on a Finite Chain [J]. Glasgow Mathematical Journal, 2005, 47: 413-424.

[4] Howie J M. Idempotent Generators in Finite Full Transformation Semigroups [J]. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Sect A Math, 1978, 81(3/4): 317-323.

[5] Howie J M, McFadden R B. Idempotent Rank in Finite Full Transformation Semigroups [J]. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Sect A Math, 1990, 114(3/4): 161-167.

[6] Howie J M, Ruskuc N, Higgins P M. On Relative Ranks of Full Transformation Semigroups [J]. Communication in Algebra, 1998, 26: 733-748.

[7] Umar A. On the Semigroups of Order-Decreasing Finite Full Transformations [J]. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Sect A Math, 1992, 120(1/2): 129-142.

[8] Umar A. On the Ranks of Certain Finite Semigroups of Order-Decreasing Transformations [J]. Portugaliae Mathematica, 1996, 53(1): 23-34.

[9] ZHAO Ping, YOU Tai-jie, XU Bo. Idempotent Rank of SemigroupPC(n,r) [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2012, 50(1): 44-48. (赵平, 游泰杰, 徐波. 半群PC(n,r) 的幂等元秩 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2012, 50(1): 44-48.)

[10] XU Bo, ZHAO Ping. Maximal Subsemibands of the SemigroupPOn[J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2012, 50(3): 445-451. (徐波, 赵平. 半群POn的极大子半带 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2012, 50(3): 445-451.)

[11] Green J A. On the Structure of Semigroups [J]. The Ann of Math, 1951, 54(1): 163-172.

[12] Clifford H, Preston G B. The Algebraic Theory of Semigroups [M]. Providence: Amer Math Soc, 1961.

[13] Howie J M. An Introduction to Semigroup Theory [M]. London: Academic Press, 1976.

[14] Higgins P M. Techniques of Semigroup Theory [M]. New York: Oxford University Press, 1992.

[15] Howie J M. Fundamentals of Semigroup Theory [M]. Oxford: Oxford University Press, 1996.

[16] Ganyushkin O, Mazorchuk V. Classical Finite Transformation Semigroups [M]. London: Springer, 2009.

[17] Nikola Ruskuc. Semigroup Presentations [D]. St Andrews, Scotland: University of St Andrews, 1995.