具多时滞和离散时间非自治互惠系统的正周期解

郭 微

(北华大学 数学学院, 吉林 吉林 132013)

0 引 言

近年来, 关于非自治生物动力系统正周期解的研究已取得许多结果[1-4]. May[5]建立了两种群互惠系统, 柏灵等[6]对文献[5]的互惠系统进行了离散化并给出了系统正周期解存在的充分条件. 于丽颖[7]将文献[6]的差分系统推广到多种群情形, 并给出了系统正周期解存在的充分条件. 基于此, 本文综合考虑种群受自身遗传因素和环境污染及有毒物的影响, 建立如下连续时间的非自治多时滞互惠系统：

其中：xi(t)表示i种群在时刻t的密度;ri,ai,bis,cij∈C([0,+∞),(0,+∞))(s,i=1,2,…,n,s≠i)均为ω>0的周期函数;θ为正常数.

为方便, 本文中i=1,2,…,n简记为i, 记 Z,Z0,Z+分别表示所有整数集、 非负整数集和正整数集, 对给定的某个函数g,

利用与文献[8]相同方法, 易得如下带有周期系数和离散时间的非自治多时滞互惠系统：

(1)

基于差分互惠系统(1)的生物学意义, 仅讨论

的情形. 对差分互惠系统(1), 考虑初值问题：

xi(υ)=φi(υ)≥0,υ∈[-τ,0],xi(0)>0,

(2)

其中τ=max{τ1,τ2,…,τm}. 对给定的某个函数f,

本文利用重合度理论中延拓定理证明差分互惠系统(1)正周期解的存在性. 易见, 当i=2,τj=0,θ=1时, 差分互惠系统(1)即为文献[6]的两种群差分互惠系统； 当τj=0,θ=1时, 差分系统(1)即为文献[7]的多种群互惠差分系统. 因此, 差分互惠系统(1)改进了文献[5-7]中的生态数学模型, 更具有实际生态意义.

1 引 理

1) 对任意的λ∈(0,1), 算子方程Ly=λNy的解满足y∉∂Ω;

2) 对任意的y∈∂Ω∩KerL,QNy≠0, 且deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0.

引理3[8]设g: Z →R,g(k+ω)=g(k),ω是正整数, 则对任意的k1,k2∈Iω及任意的k∈Z, 有

引理4存在一个与参数μ无关的常数M0, 对方程组

(3)

2 主要结果

证明: 做变换xi(k)=exp{yi(k)}, 则差分互惠系统(1)可改写为

(4)

Rn,k∈Z},

令L:lω→lω是差分算子: (Ly)(k)=y(k+1)-y(k),y∈lω,k∈Z . 再令

则

ImP=KerL, ImL=KerQ=Im(I-Q),

因此,L的逆映射Kp: ImL→DomL∩KerP存在,

于是

下面寻找一个适当的有界开集Ω满足引理2的条件. 相应于算子方程Ly=λNy,λ∈(0,1), 有

(5)

(6)

则由式(5),(6)知

(7)

一方面, 由式(6)有

从而有

结合式(7), 由引理3, 有

(8)

另一方面, 由式(6)又有

从而有

同理, 结合式(7)和引理3, 有

(9)

于是, 由式(8),(9)可得

(10)

(11)

显然,M与λ的选取无关. 令B>max{M0,M},Ω={y=(y1,y2,…,yn)T∈X‖y‖

构造同伦映射hμ(y)=μQNy+(1-μ)Gy,μ∈[0,1], 其中

注1由上述讨论可知, 如果差分互惠系统(1)中的常数时滞改为时变时滞, 则定理1的结论仍然成立, 表明时滞对系统是无害的.

注2定理1的结论表明, 差分互惠系统(1)一定会产生周期性生物振荡现象, 且时滞对系统正周期解的存在性无影响.

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