(行列)反对称矩阵的极分解及其广义逆

袁 晖 坪

(重庆工商大学 电子商务及供应链系统重庆市重点实验室, 数学与统计学院, 重庆 400067)

0 引 言

定义1设A=(aij)∈Cm×n, 则称

分别为矩阵A的行转置矩阵与列转置矩阵, 并记为AR和AC. 特别地, 若AR=A(AC=A), 则称A为行(列)对称矩阵; 若AR=-A(AC=-A), 则称A为行(列)反对称矩阵.

1 行(列)反对称矩阵的极分解及广义逆

引理1[15]设A∈Cm×n, 则对任何酉矩阵U∈Cm×m,V∈Cn×n有UAV的Moore-Penrose逆：

(UAV)+=VHA+UH.

2) 由1)、 引理1及文献[15], 有

证明：

定理3的证明与定理1的证明类似, 故略.

定理4的证明与定理2的证明类似, 故略.

证明： 1) 与定理1和定理3的证明类似, 故略. 2) 与定理2和定理4的证明类似, 故略.

2 行(列)反对称矩阵极因子的扰动界

引理2设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均为复数, 则

证明： 由复数的性质及Cauchy-Schwarz不等式, 有

引理3设A∈Cm×n,Bij∈Cn×s,i,j=1,2,…,k, 则

证明： 由矩阵Frobenius范数的定义和引理2可知结论成立.

证明： 由定理1知1)成立； 由引理3和引理4知

证明： 由定理2知1)成立； 由引理3和引理4知：

综上所述, 本文研究了行(列)反对称矩阵的极分解、 广义逆和扰动界, 得出了行(列)反对称矩阵与母矩阵两者的极分解、 广义逆和扰动界之间的定量关系. 结果表明, 用母矩阵代替行(列)反对称矩阵计算极分解、 广义逆和扰动界, 既减少了计算量和储存量, 又保证了数值精度.

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