一类广义的带参数的Hilbert型奇异积分算子及其应用

陈广生, 丁宣浩

(1.广西现代职业技术学院 建筑与信息工程系，广西 河池 547000; 2.重庆工商大学 数学与统计学院, 重庆 400067)

(1)

(2)

这里的常数因子π/sin(π/p)与[sin(π/p)]p是最佳的．式(1)称为Hardy-Hilbert积分不等式，它在分析学中有重要的应用[2]．文献[3]首先引人多参数，对式(2)进行了推广．文献[4-5]引入独立参数λ，建立了下列新的Hilbert型积分不等式：

设p>1，1/p+1/q=1，0<λ<1,f(x)，g(x)≥0.

(3)

这里的系数kλ(p)=B(λ/p，1-λ)+B(λ/q，1-λ)是最佳的.

(4)

这里的系数kλ(p)=B(λ/p，1-λ)+B(λ/q，1-λ)是最佳的.

(5)

钟五一[6]将式(3)、(4)和(5)进行了如下的统一推广：

(6)

这里的系数kλ(r)=B(λ/r，1-λ)+B(λ/s，1-λ)是最佳的.

本研究的目的是在区间(0，b)上引入一个Hilbert型奇异积分算子，并讨论其有界性问题．作为应用，导出其等价式及一些相关不等式．

1 主要结果

引入独立参数λ，建立如下的Hilbert型奇异积分算子：

(7)

(8)

(9)

则有

ωλ(x,A2,p)≤x1-λ-A2p[B(1-A2p,1-λ)+B(λ+A2p-1,1-λ)],

(10)

ωλ(x,A1,q)≤y1-λ-A1q[B(1-A1q,1-λ)+B(λ+A1q-1,1-λ)].

(11)

B(λ+A2p-1,1-λ)],因此有ωλ(x,A2,p)≤x1-λ-A2p[B(1-A2p,1-λ)+B(λ+A2p-1,1-λ)].

同理可证明ωλ(x,A1,q)≤y1-λ-A1q[B(1-A1q,1-λ)+B(λ+A1q-1,1-λ)].

max{1-A1q,1-A2p},则有

(12)

(13)

若还满足A2p+A1q=2-λ，则有

‖T‖=B(1-A2p,1-λ)+B(1-A1q,1-λ).

(14)

由Hölder不等式[7]得

由引理1得

从而得到

故式(13)成立.

下面证明式(14)成立.

若A2p+A1q=2-λ，则有(1-A2p)(λ-1+A2p)=(1-A1q)(λ-1+A1q)=(1-A1q)(1-A2p)，于是有‖Tf‖p,ω≤[B(1-A2p,1-λ]+B(1-A1q,1-λ)]‖f‖p,ω′,故‖T‖≤[B(1-A2p,1-λ)+B(1-A1q,1-λ)]|.若式(14)不成立，则存在常数0

故有

再由引理2得

令ε→0+，则有[B(1-A2p,1-λ)+B(1-A1q,1-λ)]≤K,即有[B(1-A2p,1-λ)+B(1-A1q,1-λ)]≤K,矛盾，所以‖T‖=[B(1-A2p,1-λ)+B(1-A1q,1-λ)].

2 一些应用

(15)

证明设ω=x(p-1)(λ-1)+p(a-b)，由Hölder不等式及式(13)，有

由式(15)可导出式(13)，故式(13)与(15)等价.

(16)

(17)

证明在定理1和推论1中，取A1=A2=A，便可得到(16)式和(17)式.

参考文献:

[1] Hardy G H,Littlewood J E,Polya G．Inequalities[M]．Cambridge：Cambridge University Press,1952．

[2] Mitrinovic D S，Pecaric J E，Fink A M．Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives[M]．Boston：Kluwer Academic Publishers,1991．

[3] Yang B C.On an extension of Hilbert's integral inequality with some parameters [J].J Math Anal Appl，2004(1)：1-8．

[4] 杨必成．一个新的Hilbert型积分不等式及其推广[J]．吉林大学学报：理科版，2005，43(5)：580-584．

[5] 杨必成，梁宏伟．一个新的含参数的Hilbert型积分不等式[J]．河南大学学报：自然科学版，2005，35(4)：4-8．

[6] 钟五一，杨必成.一个新的Hilbert型积分不等式的含多参数的最佳推广[J].江西师范大学学报:自然科学版，2007，31(4)：410-414.

[7] 匡继昌．常用不等式[M]．济南：山东科学技术出版社，2004.