分形理论在公路网规划评价中的应用

陈迎春　曹云凤　曹云建

【摘 要】本文通过对公路网规划评价指标、分形和分形维数的研究，阐述了分形理论用于路网评价的可行性，将分形理论应用于区域路网的覆盖性评价，取得较好效果，由此得出，分形理论在路网覆盖性评价方面是简单、操作可行的一种评价方法。

【关键词】公路网评价；分形理论；技术评价；覆盖形态；分形分维

0.引言

道路交通体系是城市机能运转不可缺少的重要组成部分，但现有的路网规划评价理论与方法在逻辑分析、量化分析、设计方法层面还存在诸多不足。“分形几何学”作为一种新兴学科已经在国民经济各行业得到了广泛的应用，而由于公路网从形态上符合分形理论，所以，作为理论基础将其应用于公路网规划评价方面具有很好的前景。

1.分形理论介绍

1.1分形的概念

“分形”用来描述自然界中传统欧氏几何所不能描述的一些复杂而无规则的几何现象，如变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、回转曲折的海岸线、动物的神经网络、不断分叉的树枝、纵横交流的血管、烧结过程中形成的各种尺寸的聚积团等等，这些现象的一个共同特点是：不规则、不光滑。

分形的定义：其组成部分和整体以某种方式相似的形，这里的“某种方式”是“自相似”或“自仿射”[1]。

1.2分形的维数

分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数，它不是整数而是分数，它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。

分形几何形体的本质属性是自相似性，而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间（不论是对自然形体的不同程度的放大，还是对人工形体迭代操作所得到的不同代）得以体现的。因而，分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大，就表明它在空间的扩张趋势越强，形状本身的变化可能性也越丰富。对于不同类型的分形几何形体，分形几何学定义了三种不同的维数计算方法：自相似维数、量度维数和格数维数[2]。

自相似维数针对的是人工操作所形成的分形几何形体，它的层次体现在相邻的父代（即操作起始）和子代（即操作结果）之间，由于每个父代和子代之间执行的都是同样的人工定义的规律，因而自相似维数在不同的层次之间、或在形体不同的代数之间保持的是稳定的常数。

量度维数、格数维数针对的则是完全自然的形体，它们要把自然形体的层次揭示出来，就必须依据某种分析手段。在这方面，量度维数靠的是把自然线条简化成分辩率不同的折线，格数维数依靠的是把自然形体简化成分辩率不同的位图，它们都在不同的分辩率下形成不同的简化结果，并以之展现出形体本身原有的层次，再通过对这些结果的比较计算出维数的数值。量度维数和格数维数实际上都是一系列存在微小差异的变数，其趋势能反映出自然形体的构成规律。

格数维数适用于一般的自然形状。它用不同密度的格网来覆盖形状，计算形状所占据的格子数，并通过比较不同密度下格子数的不同来判断形状的维数。在理论上，格数维数的数值等于自相似维数。

2.公路网评价指标体系

路网的基本功能是满足最多的人以最少的时间到达最理想的目的地。而对路网的评价是公路网规划过程中的一个重要部分，主要包括技术评价、经济评价、社会评价和综合评价，其中技术评价是一项十分重要的内容，而公路网覆盖形态则是技术评价的重要指标之一，如图1所示。

图1 公路网规划评价体系

公路网络的覆盖形态描述了公路路线在区域中的覆盖状况，常用“覆盖率”和“覆盖深度”进行定量描述，比其它指标更深入、更直观、更准确的反映公路网的状况。然而，在过去路网的评价中，常用路网密度描述道路的密集程度， 路网密度指城市中所有的道路总长度与城市总面积之比。该指标只能反映公路网建设的总体规模与水平，不能对路网的具体分布特征进行准确的描述。例如，具有相同长度的公路按不同均匀程度分布在相同面积的区域上，显然其密度指标是一样的，但实际上这两个路网的分布特征是不同的。而基于分形理论的公路网覆盖形态评价模型是一种较为简单的近似算法，为路网覆盖形态指标的评价提供了较好的工具。

3.分形理论在公路网评价中的应用

3.1分形分维用于公路网评价的可行性

将分形几何学的基本概念和原理，以及分形的特征应用于工程实践，是由于分形中的自相似特性，可以是绝对意义上的自相似，也可以是统计意义上的自相似。而统计意义上的自相似正是公路网技术等级规划思路中的理论依据。

自相似性存在有类属层次，级别的多种相似。在级别相似中，级别最高的是整体，级别最低的称为生成元，级别差越小，它们之间的相似性就越高，级别差越大，它们之间的相似性就越低，最终导致相似性消失。公路研究时用的分形几何中的生成元和分形图正好与公路线路和公路网两个层次之间的概念是对应的。

公路网规划是一种工程实践，其中所运用的分形为统计意义下的自相似理论。公路线路与公路网是公路中微观、宏观两个不同层次上的“子母”型事物，在它们之间需要有一种特性参数来划分其中的过渡特征，且参数越少越好。在已往的公路网评价中，不论是公路线路的技术参数（如地理位置、里程、技术等级等），还是公路网的技术参数（路网密度、平均技术等级等），都无法完全满足路网规划评价要求[3]。同时，由于公路网在局部和整体上的相似性，并不是在任何尺度上都成立的，通常只是在无标度区尺度范围内才成立。无标度区是指自相似性存在的尺度范围，即自相似性存在的区域。因此，考察区域内交通网络的分形特征时必须在无标度区内进行考察。

正是由于分形有无标度区间的概念所以可以方便的解决公路“载荷”之中的输送与集散两种特征背向功能的统一。在分形区间中又可解决公路这个“载体”网中的干支关系，且无论干支层次关系中有多少层次，都可用分形维数进行分析研究。因而，分形特征的分维数为路网规划评价过程提出了一种新思路新方法。

3.2分形理论应用于公路网规划的理论依据

路网覆盖度，就是在公路网规划中运用分形理论中的分维数求出的评价指标。下面就路网覆盖度的含义及应用进行分析和说明。

我们用网络边长为r的方格网覆盖所分析的区域，设其中有交通线路通过的网格数为N（r），当r变化时，N（r）也随之变化，就形成r-N（r）曲线。

分形理论对分维的定义方法如下方程式：

D（ri）=

将上式进行转换，用差分代替微分可得到：

D（ri）=-

公式中：为第i次细分公路线网后的网格边长，r（i-1）为第i-1次细分公路线网后的网格边长，N（ri）为第 i 次细分公路线网后有公路线路通过的网格数，Nr（i-1）为第 i-1 次细分公路线网后有公路线路通过的网格数，D（ri）是分维数[4]。

以下举例来说明以上理论。设在一个边长为 r 的正方形网格内有一条公路线通过（如图2中a），将该正方形四等分，分成4个边长为r/2的小正方形，形成新的覆盖网格，这时道路通过状况有四种不同的情况（如图2中b-e）。

图2 不同道路覆盖形态下的分维数

有上面公式计算可得：

当这四个正方形均有道路通过时，计算出 D=2；

当有三个正方形有道路通过时，计算出D=1.58546；

当有两个正方形有道路通过时，计算出D=1；

当只有一个正方形有道路通过时，计算出D=0。

由此可知，分维数在是否有公路线通过的意义上，反映出新网络与原网络的相似程度。当 D=2时，具有完全的自我相似性（因为这时细分正方形前后的情况完全相似，每个方格内均有公路线通过）。因此，可用相似分维数D来定义网络覆盖度。覆盖度反映了路网均匀性的量化程度，在同样的路网密度情况下，公路线分布越均匀，路网覆盖度指标值越高，因而它比路网密度指标提供了更多的特征信息。

3.3分形理论用于路网规划评价的重要意义

由于用于路网规划评价的路网密度指标只是反映了路网建设的总体规模与水平，易于进行不同地区或国家之间的横向比较，非常适用于研究交通网络的宏观规模，但对于路网具体分布特征的描述则仍然不够完善。当把相同长度的道路按照不同均匀程度布置在同样面积的区域上时，它们的密度指标是相同的，但所发挥的作用却有差异[5]。而交通网络分布的均匀程度在路网规划合理性评价中具有重要的作用，例如通过交通网络的均匀分布促进不同地区的均衡发展，而密度指标通常遗漏了路网规划中重要的网络分布特征的信息。

公路网的空间布局及网络分布具有自相似性，符合分形的特征，因而可以应用分形理论对其进行研究。基于分形理论的路网覆盖形态评价模型是一种较为简单的近似算法，可以根据研究的需要，引用不同种类的分维，应用于公路网络的分形研究，也可以用来分析公路网络的空间几何特征、空间密度特征、空间复杂程度以及空间连通性特征等，可有效得出公路网的适应性、可达性和连通性，为路网覆盖形态指标的评价提供了较好的工具。因此，引进基于分形理论的网络覆盖评价指标对于路网规划规模的合理性评价具有着重要的意义。

4.结束语

分形理论用于公路网络规划评价，不仅反映了网络密度指标所反映的公路网络建设的总体规模与水平，而且分维数的应用为描述网络覆盖的深入程度、网络分布的均匀程度等提供了有效的方法。然而本文主要是从路网覆盖量均匀的角度来评价路网的总体分布的，但路网分布规划毕竟是一个多层次的问题，存在许多影响着一个地区的路网发展与预测的自然、地理、经济等不同因素，因此，在计算路网覆盖度 D 时，应该加入多重分形的思想，对于一个系统的分析，应该多方位、多角度透彻的考虑各方面的影响，才能使每条线路都得到充分的应用，达到最大的效益。 [科]

【参考文献】

[1]金以文，鲁世杰著.分形几何原理及其应用[M].浙江大学出版社，1998.

[2]李后强，程光钱.分形与分维.成都：四川教育出版社，1990.

[3]张铮，陈亮.基于分形理论的区域路网覆盖性评价研究.河北工业大学成人教育学院学报，2005，3.

[4]谢和平，薛秀谦.分形应用中的数学基础与方法.科学出版社，1997，3.

[5]杨东援，吴海燕，宗传苓.采用分形几何学方法概述路网覆盖形态.中国公路学报.