锥度量空间中一类压缩映射不动点定理

江秉华

(湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002)

1 预备知识

众所周知, 非线性映射的不动点的存在唯一性是非线性分析的重要课题之一, 而且不动点理论广泛地应用于非线性积分方程和微分方程中.文[3]通过引入Banach 空间代替实数集合, 引进了锥度量空间并且证明了完备锥度量空间中Banach 压缩映象原理仍然成立. 此后, 压缩不动点定理在锥度量空间中得到推广和应用.受文[1～2]启发, 本文证明了锥度量空间中一类压缩不动点定理, 推广了相关文献结果.

下面先介绍一些基本概念和已知结果.

设E是实Banach 空间，P是E的一个子集, 如果

1)P是非空闭集且P≠{θ} ;

2)∀a,b∈+,x,y∈P,则ax+by∈P；

3) 若x∈P,-x∈P, 则x=θ;

则称P是一个锥. 规定x≤y⟺y-x∈P,熟知“ ≤”是E上一个偏序，称“ ≤”为P诱导的偏序关系. 用x0，使得当θ≤x≤y时，‖x‖ ≤K‖y‖ (x,y∈E), 则锥P称为正规锥. 满足上式的最小正常数K称为P的正规常数. 如果intP≠Ø，则称锥P是体锥.

在本文中，总假设E为实Banach 空间, 锥P⊂E是体锥， “ ≤ ”为P诱导的一个偏序关系.

定义1 设X是一个非空集合，映射d：X×X→E满足

d1)θ≤d(x,y),∀x,y∈X;d(x,y)=θ⟺x=y;

d2)d(x,y)=d(y,x),∀x,y∈X;

d3)d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z),∀x,y,z∈X;

则称d为X上的一个锥度量，同时称 (X,d)为锥度量空间.

锥度量空间是向量度量空间的推广.

定义2 设(X,d) 为锥度量空间，

1) 若∀c≫θ, 存在正整数N，使得当n,m>N时，有d(xn,xm)≪c, 则称{xn} 为柯西列；

2) 若∀c≫θ,存在正整数N，使得当n>N时，有d(xn,x)≪c, 则称{xn} 收敛于x∈X；

3) 若X中任意Cauchy列都是收敛序列，则称X是完备的锥度量空间.

2 主要结果

在这里省略了[1]中锥的正规性这个条件，给出定义在锥度量空间中映射公共不动点定理.

定理1 设(X,d) 是一个完备的锥度量空间，P是E中的一个锥，假设映射f,g:X→X满足

d(fx,gy)≤λ1d(x,y)+λ2d(x,fx)+λ3d(y,gy)+λ4[d(x,gy)+d(y,fx)]

(1)

对∀x,y∈X都成立，其中λi≥0 为常数，i=1,2,3,4,λ1+λ2+λ3+2λ4< 1，则f和g在X中有唯一的公共点不动点.

证明 取x0∈X设x2n+1=fx2n,x2n+2=gx2n+1(n=0,1,2,3…),则得到一个序列{xn} . 因此，由(1)式，对于正整数n，有

d(x2n+1,x2n+2)=d(fx2n,gx2n+1)≤

λ1d(x2n,x2n+1)+λ2d(x2n,fx2n)+λ3d(x2n+1,gx2n+1)+λ4[d(x2n,gx2n+1)+d(x2n+1,fx2n)]=

λ1d(x2n,x2n+1)+λ2d(x2n,x2n+1)+λ3d(x2n+1,x2n+2)+λ4[d(x2n,x2n+2)+d(x2n+1,x2n+1)]=

(λ1+λ2+λ4)d(x2n,x2n+1)+(λ3+λ4)d(x2n+1,x2n+2)

所以

类似地，有

d(x2n+2,x2n+3)≤δ·d(x2n+1,x2n+2)

综上，对任意正整数n，有

d(xn+1,xn+2)≤δd(xn,xn+1)≤…≤δn+1d(x0,x1)

故对正整数m和n，当m>n时，有

d(xm,xn)≤d(xn,xn+1)+d(xn+1,xn+2)+…+d(xm-1,gxm)≤

(δn+δn+1+…+δm-1)d(x1,x0)≤

现在由(1)式，得到

d(p,gp)≤d(p,x2n+1)+d(x2n+1,gp)=d(p,x2n+1)+d(fx2n,gp)=

d(p,x2n+1)+λ1d(x2n,p)+λ2d(x2n,x2n+1)+λ3d(p,gp)+λ4[d(x2n,gp)+d(p,x2n+1)]≤

d(p,x2n+1)+λ1d(x2n,p)+λ2d(x2n,x2n+1)+λ3d(p,gp)+λ4[d(x2n,p)+d(p,gp)+d(p,x2n+1)]

并且

设θ≪c, 选取一个正整数N2，当n>N2时有

然后d(p,gp)≪c，由于c的任意性，故d(p,gp)=θ⟹p=gp注意到

d(p,fp)=d(gp,fp)≤λ1d(p,p)+λ2d(p,fp)+λ3d(p,gp)+λ4[d(p,gp)+d(p,fp)]=

(λ2+λ4)d(p,fp)

有(1-λ3-λ4)·d(p,fp)≤θ, 又 0≤λ1+λ2+λ3+2λ4<1⟹(1-λ3-λ4)>0,所以d(p,fp)=θ, 即fp=p=gp

综上，得到f和g有公共不动点p. 下面证明它们的公共不动点是唯一的.

假设存在另一个点q∈X使得fq=gq=q，因此由(1)式，有

d(p,q)=d(fp,gq) ≤

λ1d(p,q)+λ2d(p,fp)+λ3d(q,gq)+λ4[d(p,gq)+d(q,fp)]=

(λ1+2λ4)d(p,q)

又因为0≤λ1+λ2+λ3+2λ4<1 ，有0≤λ1+2λ4<1 ， 所以d(p,q)=θ，即p=q.因此f和g有唯一的公共不动点.

推论1 设(X,d) ， 是一个完备的锥度量空间，λi≥0 (i=1,2,3,4) ,且λ1+λ2+λ3+2λ4<1.p,q为两个自然数. 若映射f:X→X满足对∀x,y∈X, 有

d(fpx,fqy)≤λ1d(x,y)+λ2d(x,fpx)+λ3d(y,fqy)+λ4[d(x,fqy)+d(y,fpx)]

(2)

则f存在唯一的不动点.

证明 将fp,fq分别看作定理1中f,g，再利用不动点的唯一性可证得命题.

推论2 设(X,d) 是一个完备的锥度量空间，若映射f:X→X满足对∀x,y∈X, 有

d(fx,fy)≤λ1d(x,y)+λ2d(x,fx)+λ3d(y,fy)+λ4[d(x,fy)+d(y,fx)]

(3)

其中λi≥0(i=1,2,3,4)，λ1+λ2+λ3+2λ4<1,则f存在唯一的不动点.

证明 在推论1中令p=q=1，结合其证明过程，即得结论.

推论3 设(X,d) 是一个完备的锥度量空间，若映射f:X→X满足

d(fx,fy)≤λd(x,y),∀x,y∈X

(4)

其中0≤λ<1, 则f存在唯一的不动点.

推论4 设(X,d) 是一个完备的锥度量空间，若映射f:X→X满足

d(fx,fy)≤λ1d(x,fy)+λ2d(y,fx),∀x,y∈X

(5)

其中λ1,λ1∈[0,1/2), 则f存在唯一的不动点.

推论5 设(X,d) 是一个完备的锥度量空间，若映射f:X→X满足

d(fx,fy)≤λ1d(x,fy)+λ2d(y,fx),∀x,y∈X

(6)

上面的引理是[3]中定理4的推广.

推论6 设(X,d) 是一个完备的锥度量空间，若映射f:X→X满足

d(fx,fy)≤λ1d(x,y)+λ2d(x,fx)+λ3d(y,fy)

(7)

对 ∀x,y∈X都成立，其中λi≥0(i=1,2,3) ，λ1+λ2+λ3<1,则f在X中存在唯一的不动点.

一个显而易见的事实：如果一个映射f有一个不动点p，那么对任意的自然数n,p也是映射fn的不动点. 但反过来不成立. 如果满足F(f)=F(fn) ，(这里F(f) 表示映射f的所有不动点的集合)，则称此映射满足性质P(见文献[4]). 如果F(f)∩F(g)=F(fn)∩f(gn)，那么称f和g具有性质Q.

定理2 设(X,d) 是一个锥度量空间，映射f:X→X满足

d(fx,f2y)≤λd(x,fy),∀x,y∈X

(8)

如果① 0≤λ<1，或者 ② 当λ=1 时， ∀x∈X,x≠fx

d(fx,f2y)

若F(f)≠Ø ，则f满足性质P.

证明 因为n=1 时显然成立，我们总是假设n>1 . 取u∈F(fn) ，若f满足条件①，那么

d(u,fu)=d(f(fn-1u),f2(fn-1u))≤λd(fn-1u,fnu)≤λ2d(fn-2u,fn-1u)≤ …≤λnd(u,fu)

所以d(u,fu)=0, 进而有u=fu. 若f满足条件②，则fu=u显然成立. 若不然u≠fu，重复①的证明，就会导致d(u,fu)

定理3 设(X,d) 是一个完备的锥度量空间，若映射f，g:X→X满足(1)式，则f,g具有性质Q.

证明 由定理1知，f,g在X中有唯一公共不动点，设u∈F(fn)∩F(gn)，则

d(u,gu)=d(f(fn-1u),g(gnu))≤λ1d(fn-1u,fnu)+λ2d(fn-1u,fnu)+λ3d(fnu,gn+1u)+

λ4[d(fn-1u,gn+1u)+d(fnu,gnu)]≤

λ1d(fn-1u,u)+λ2d(fn-1u,u)+λ3d(u,gu)+λ4d(fn-1,gu)=

λ1d(fn-1u,u)+λ2d(fn-1u,u)+λ3d(u,gu)+λ4d(fn-1u,u)+λ4d(u,gu)=

(λ3+λ4)d(u,gu)+(λ1+λ2+λ4)d(fn-1u,u)

从而

进而

d(u,gu)=d(fnu),gn+1u))≤δd(fn-1u,u)≤…≤δnd(fu,u)

故F(fn)∩F(gn)⊂F(f)∩F(g), 故f,g具有性质Q.

参考文献：

[1]Abbas M, Rhoades B E.Fixed and periodic point results in cone metric space[J]. Applied Mahgematics Letters,2009,22:511～515.

[2]Abbas M, Jungck G.Common fixed point results for noncommuting mappings without continuity in cone metric space[J]. J Math Anal Appl,2008,341:416～420.

[3]Huang Long-Guang, Xian Zhang.Cone metric space and fixed point theorems of contractive mappings[J]. J Math Anal Appl,2007,332:1468～1476.

[4]Rezapour Sh, Hamlbarani R.Some notes on the paper "Cone metric spaces and fixed point gheorems of contractive mappings"[J]. J Math Anal Appl,2008,345:719～724.

[5]Jeong G S, Rhoades B E.Maps for which F(f)=F(fn)[J].Fixed point Theory Appl,2005,6:87～131.