亚纯P叶星象函数的一个新子类

杨 颖

(马鞍山师范高等专科学校 软件与食品工程系, 安徽 马鞍山 243041)

亚纯P叶星象函数的一个新子类

杨 颖

(马鞍山师范高等专科学校 软件与食品工程系, 安徽 马鞍山 243041)

应用函数Φp(a,c;z),对f(z)∈∑p,我们用Hadamard卷积定义∑p上的一个新的线性算子Lp(a,c):Lp(a,c)f(z)=Φp(a,c;z)*f(z).应用这个新算子去定义∑p中的一个新的函数类Tp(a,c;α),引入新算子Lp(a,c)研究函数类Tp(a,c;α)的一些性质.

解析函数; 亚纯P叶星象函数; 线性算子; Hadamard卷积

设∑p表示在去心单位圆盘E*={z∈C:0lt;|z|lt;1}内解析,且形如

(1)

的全体函数类．

定义函数Φp(a,c;z)为

这里(x)k是Pochhammer符号．

应用函数Φp(a,c;z),对f∈∑p,我们用Hadamard卷积定义∑p上的一个新的线性算子Lp(a,c),

Lp(a,c)f(z)=Φp(a,c;z)*f(z)．

若函数f(z)∈∑p,且满足不等式

(2)

则称该函数属于Tp(a,c;α)类．此处agt;0,0≤αlt;1且满足

(3)

本文将引入新的算子Lp(a,c)来证明

Tp(a+1,c;α)⊂Tp(a,c;α)

(4)

及Tp(a,c;α)的其它一些性质．

因T0(a,c;α)是满足以下条件的函数类,

(5)

为了证明我们的主要结果,需要下面的引理．

引理1[1-2]设w(z)为E内非常数的解析函数,w(0)=0．若|w(z)|在圆|z|=rlt;1中的z0达到它的最大值,则有z0w′(z0)=kw(z0),这里的k是一个实数且k≥1．

定理1Tp(a+1,c;α)⊂Tp(a,c;α)．

证明令f(z)∈Tp(a+1,c;α),则

(6)

我们发现式(6)中蕴含着这样的一个不等式

(7)

考虑由下式定义的E中的解析函数w(z)

(8)

显然w(0)=0．式(8)可以写成

(9)

将式(9)对数微分且用以下恒等式(易证)

z(Lp(a,c)f(z))′=aLp(a+1,c)f(z)-(a+p)Lp(a,c)f(z)

(10)

得到

(11)

我们声明在E中|w(z)|lt;1．否则由引理1,存在E中一点z0,使得z0w′(z0)=kw(z0),这里|w(z0)|=1且k≥1 ，式(11)可推出

(12)

这与式(6)矛盾．因此在E中当|w(z)|lt;1时f(z)∈Tp(a,c:α)．

定理2 设ξgt;0,且令f(z)∈∑p满足条件

(13)

则

(14)

属于Tp(a,c;α)．

证明由F(z)的定义知

z(Lp(a,c)F(z))′=ξLp(a,c)f(z)-(ξ+p)Lp(a,c)F(z)

(15)

由式(10)和(15),条件(13)可以写成

(16)

我们需要去证式(16)隐含不等式

(17)

我们定义E中的w(z)为

(18)

显然w(z)是解析的且w(0)=0．等式(18)可以写成

(19)

两边对数微分,应用式(10)我们可以得到

(20)

由式(19)和(20)可得

证明的剩余部分与定理1类似,故省略．

根据定理1,我们立即能得到下面的结论．

推论1 若f(z)∈Tp(a,c;α),则由式(14)定义的函数F(z)也属于Tp(a,c;α)．

定理3f(z)∈Tp(a,c;α)当且仅当

证明由F(z)的定义知

z(Lp(a,c)F(z))′=aLp(a,c)f(z)-(a+p)Lp(a,c)F(z)

(21)

由式(10)，(21)推出

Lp(a,c)f(z)=Lp(a+1,c)F(z)

所以Lp(a+1,c)f(z)=Lp(a+2,c)F(z),结论得证．

[1] Jack I S. Functions starlike and convex of order α[J]. London Math Soc, 1971, 3: 469-474.

[2] Miller S S, Mocanu P T. Second order differential inequalities in the complex plane[J]. Math Anal Appl, 1978, 65: 289-305.

ANewClassofMeromorphicP-valentStarlikeFunctions

YANG Ying

(Department of Software and Food Engineering, Maanshan Teachers College, Maanshan Anhui 243041, China)

Corresponding to the functionΦp(a,c;z),we define a new linear operatorLp(a,c) on ∑pby the Hadamard product forf(z)∈∑p,Lp(a,c)f(z)=Φp(a,c;z)*f(z).We use the new linear operator to define the new classTp(a,c;α) on ∑p.The object of this paper is to use the new operatorLp(a,c)to investigate some properties ofTp(a,c;α)

analytic functions; meromorphic p-valent starlike functions; linear operator; hadamard product

2013-01-25

杨颖(1980-), 女, 安徽马鞍山人, 讲师, 硕士, 研究方向为复分析.

O174.5

A

1671-6876(2013)02-0106-04

[责任编辑李春红]