无穷级数敛散性之注记*

唐 艳

(重庆工商大学数学与统计学院，重庆400067)

级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位.这是因为，一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，例如微分方程的解就常用级数表示;另一方面又可将函数表示为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等［1］.用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点.一般地，考虑级数理论的基本问题时，总是首先考虑收敛问题，然后考虑性质问题.在概念上，级数与序列是不同的:级数隐含着无限次加法，意味着施行于序列的一种运算.但是对于级数，学生在学习中总会出现将概念、性质尤其是使用级数的敛散判别方法等混淆的情况［2，3］.基于此，重点讨论使用判别方法时的几种常见错误以及几个概念理解上的错误，并举例加以联系和区别.

1 使用判别法时几种常见的错误

1.1 利用通项的性质来判别级数的敛散性

对于级数的收敛问题，只在一般项是无穷小量的前提下，才是值得考虑的问题.

性质 1［1］(必要条件)若级数收敛，则u趋于零.n

事实上，这个级数确实收敛，但是并不是因为其通项趋于零才收敛.按照级数收敛的定义，部分和Sn=，即 ，因此级数收敛.

1.2 利用正项级数收敛的充要条件来判别级数的敛散性

在正项级数的收敛判别法中，教材介绍了正项级数收敛的充分必要条件.

定理1［1］正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.

在使用这个充分必要条件时，学生们往往更注意的是“部分和数列有界”，而将级数的最基本要求——正项级数忽略了.

1.3 利用比值判别法和根值判别法来判断级数的敛散性

在正项级数的判别法中，用得较多并且学生们认为较为方便的就是比值判别法和根值判别法，因为相对于比较判别法而言，不需要另外寻求新的级数，只需直接从给定的级数中取出通项就可以进行判别了.但是，学生们在使用这两个相对方便的方法时，也会因为没有认真研究判别法的条件而得出错误的结论.

另外，学生在使用这两个判别法时由于没有注意级数的通项是否为正项而直接使用判别法也会导致判断结果错误.

2 几个容易混淆的概念

2.1 绝对收敛和条件收敛

学生在理解绝对收敛和条件收敛这两个概念时，容易简单地理解为前者是指级数绝对是收敛的;而对于后者，学生会发明创造出“条件发散”这样的名词.一般情况下，发散和收敛对立.所以学生会以为既然有条件收敛，自然也应该有条件发散.这是学生在概念的理解上，没有认真体会这两个名词的本质，所以就产生了混淆.应该从绝对收敛以及条件收敛的定义知道，无论级数是条件收敛还是绝对收敛的都是收敛的，只是对于前者是发散的，对于后者是收敛的.

注意到这个级数并不是交错级数，实际上并非如此.该级数是一个公比为的等比级数，因此要判断其敛散性，应该进行讨论:＜1

2.2 收敛域和收敛区间

在讨论幂级数时，通常会计算它的收敛半径，并且会讨论它的收敛域.收敛域和收敛区间是不一样的，收敛域是指级数收敛的区域.若收敛半径为 R 的话，收敛域可能是［－R，R］，(－R，R］，［－R，R)，(－R，R)，而收敛区间只是(－R，R).收敛区间的端点也有可能是收敛点，所以考察收敛域时应将收敛区间的端点进行讨论.

上面给出了级数部分常见的一些典型错误，并对之进行了分析，其目的在于帮助学生在学习无穷级数这一章的知识时开拓思路，提高运算能力.这样对于函数的学习将更上一个台阶.对于学生来说，在数学的学习过程中，理解概念要求明确概念的要素，认清其实质，要尽力做到了解性质、概念的内涵与外延.这样才能将大学数学基础知识掌握的更牢固.

［1］同济大学数学系.高等数学(下)［M］.6版.北京:高等教育出版社，2010

［2］徐兵.高等数学大讲堂［M］.大连:大连理工大学出版社，2004

［3］金裕红.一般项趋于零且部分和有界的发散级数［J］.北京:高等数学研究，2011，14(3):78-79