解题后怎样反思

☉江苏省南通市平潮高级中学初中部丛远林

解题后怎样反思

☉江苏省南通市平潮高级中学初中部丛远林

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程总目标中指出：“学生能‘初步形成评价与反思的意识，养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯’．”弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力．在数学活动中引导学生及时、多角度地反思，能促使他们从新的角度，多层次、多侧面地对问题进行全面考察、分析与思考……对思维能力的提高大有裨益．”解题后的反思不仅仅是对解题过程一般性的回顾，而是深究解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，是对解题活动的总结、提炼、再探索、再发现、再创造．解题后怎样反思呢？

一、思维受阻时是怎样调节使思维畅通的

案例1：（2012年山东东营卷改编）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？

图1

（2）如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．

图2

对于问题（1），将△EBC绕点C顺时针旋转90度，由三角形全等可证得成立．对于问题（2），不知怎么办．用问题间联想法调节思维．问题（1）、（2）之间有什么联系呢？观察图1、图2发现，图1截去△GCD得到图2．将图2补成图1（如图3）．由（1）中的结论，在图3中，知DE=BE+DG，设DE=x，则DG=x-4，AD=16-x，AE=8，在Rt△ADE中，由DE2=AD2+AE2建方程就可求出DE的长．将问题（2）转化为问题（1）的情形，用问题（1）的结论解决问题（2）．

思维受阻时用问题间联想法调节思维，将要解决的问题转化为已解决的问题，使思维畅通．

二、思维复杂时是怎样调节使思维优化的

案例2：如图4，在△CDE中，∠ECD=45°，CF⊥ED于F，EF=2，FD=3．求CF的长．

图3

图4

一同学这样思考：如图5，作EH⊥CD于H，设CF=x．DE2= DH2+EH2，EH=ECsin 45°，DH=CD-CH，CH=ECcos 45°．所以DE2=（CD-ECcos 45°）2+（ECsin 45°）2，所以DE2=CD2+ CE2-2CD·CEcos45°，即解出x即可．

图5

图6

关系式复杂，方程极不易解．需要优化．

受案例1的启发，∠DCE=45°，构造正方形．如图6，作△ECF关于CE的轴对称图形△ECB，作△DCF关于CD的轴对称图形△DCG，延长BE、GD交于点A，则四边形ABCG为正方形，边长等于CF．设CF=x，在直角三角形ADE中，由勾股定理建方程（x-2）2+（x-3）2=25，求出CF的长．解法巧妙，运算也简单．

受已解问题的启发，构建已解问题模型，优化思维．

三、同化

将新知纳入到学生已有认知结构中去，使已有认知结构不断丰富．如案例1中的（2）、案例2都是求线段的长，最终都是利用勾股定理建方程求出．对于求线段的长，学生已有认知结构，如通过三角形全等求解等，现在将利用勾股定理建方程求线段的长同化到已有认知结构中去，使学生求线段的长的方法不断丰富．

四、比较

异中比同．解决问题后，将自己曾经解决过的和此问题解法基本相同的一些问题找出来，比较在不同情境下解法的共性．案例1、案例2看上去差别非常大，但解法有许多相同处．案例1的（1）是它们的共性基础，都是通过构造正方形，最后在直角三角形ADE中利用勾股定理建方程求出解．

同中比异．将自己曾经解决过的和此问题情境基本相同或解法基本相同的问题找出来，比较不同的地方．案例1的（2）、案例2都构造正方形，但它们构造正方形的方法又不同．案例1的（2）是将直角梯形补成正方形，因此图3中DE=BE+DG是要证明的，而案例2是通过作三角形的轴对称图形构造的，图6中DE=BE+DG是自然成立的，不用证明．

五、拓展

将问题情境拓展到一般情形，结论是否仍成立？或在一般情形下，结论是什么？如案例1（1），四边形ABCD为正方形，E是AB上一点，G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立．拓展到一般四边形ABCD，如图7，E是AB上一点，G在AD上，在什么条件下GE＝BE＋GD仍成立呢？经探索，如将△ECB绕点C顺时针旋转∠BCD，使△ECB与△GCD拼成的新三角形与△GCE全等，则若GE＝BE＋GD仍成立，需满足条件

图7

六、类比

问题解决后，将问题情境换成其他类似情境，再探索、再发现，加深对解法的本质理解．如图8，把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；再将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达了点O2处）．

图8

发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形的面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．

图9

进行类比反思：如图9，把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；再将正方形纸片AO1C1B1绕点B1按顺时针方向旋转90°……按上述方法经过若干次旋转后，提出如下问题：

问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成的图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程.

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是

通过类比反思，加深对解法的本质理解，抓住一个点绕旋转中心旋转所经过的路程是弧，用弧长公式求弧长．几段弧与直线围成的图形面积，分割为扇形与三角形的面积之和．

七、找通法

案例3：（2011年黑龙江鸡西卷）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图10，易证EG=CG且EG⊥CG．

图10

图11

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图11，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．

（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图12，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．

图12

图13

分析：（1）如图13，过点G作GH⊥EC于H，由平行线等分线段定理，知EH=HC，所以，EC，∠EGC=90°．EG=CG且EG⊥CG．

（2）EG=CG且EG⊥CG仍成立．

如图14，延长FE交DC的延长线于M，连接MG．显然△FMD为等腰直角三角形45°，EF=BE=CM，所以△GFE△GMC．所以EG=CG，∠FGE=∠MGC．因为MG⊥FD，所以EG⊥CG．

图14

图15

反思：以上解法只是特法，能否找到通法？将△BEF绕点B逆时针旋转α（如图15），结论是否仍成立？

过点D作DH∥EF交EG的延长线于H，连接CH、CE，过点E作EM∥BC．

易证四边形EFHD为平行四边形，EG=GH，EF平行且等于DH．由于将△BEF绕点B逆时针旋转α，所以∠EBA= α，∠FEM=α，所以DH与AD的延长线的夹角为α，所以∠EBC=90°+α=∠HDC．又DC=CB，DH=EF=BE，所以△EBC△HDC，所以CE=CH，∠ECB=∠HCD，所以∠ECH=∠BCD=90°．由等腰三角形三线合一，知EG⊥CG．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知EG=CG．所以，能找到通法．