Panel数据模型中两步估计的改进

张 蕊，范永辉

（天津师范大学数学科学学院，天津300387）

Panel数据是指对任何同一组的个体在一段时间内重复观测到的数据，这里的个体可以是工人、家庭、公司、行业、地区或国家等.Panel数据常出现在重复测量试验、两级抽样调查以及含时间和个体的经济调查中[1].用于分析此类数据的模型往往称为Panel数据模型.从本质上看，Panel数据模型是一种具有套误差结构（nested error structure）的线性回归模型.

只含一个随机效应的Panel模型可表示为

其中：yit表示第i个个体（如区组、家庭、国家或地区等）在时刻t的因变量观测值；xitj表示第i个个体上第 j个自变量在时刻 t的取值，j=1，2，…，k；β0，β1，β2，…，βk为未知回归系数；μi是第 i个个体的随机效应，εit是随机误差，假定所有μi和εit都彼此相互独立，且 μi～ N（0，σμ2），εit～ N（0，σε2）.

将模型（1）写成矩阵形式：

其中：1NT和1T分别表示分量全为1的NT维和T维列向量，

假定 X 的秩为 k；βT=（β1，…，βk）；u=（IN⊗1T）μ +ε；符号⊗表示 Kronecker乘积，且 μT=（μ1，μ2，…，μN），εT=（ε11，…，ε1T，ε21，…，εNT）.那么 μ 和 ε 相互独立，且

其中：P=IN⊗JT-JNT，Q=I-IN⊗JT，σ12=Tσμ2+σε2.

为方便起见，用 rank（A）和 tr（A）分别表示矩阵A的秩和迹，M（A）表示矩阵A的列向量张成的空间.如果矩阵A，B满足ATB=0，线性子空间M（A）和 M（B）相互正交，则简单地说矩阵 A，B正交.Cov（·）表示随机向量的协方差矩阵.

1 两步估计及其改进

由于P、Q都是对称幂等矩阵，所以存在列满秩的矩阵 C1、C2，使得

2）C1TPC1=IN-1，C2TQC2=IN(T-1）.

证明 1）注意到 M（P）=M（C1），M（Q）=M（C2），并且 P=C1C1T，Q=C2C2T，由引理 1 可知NT，C1，C2相互正交.C1TQ=（C1TC2）C2T=0，C2TP=（C2TC1）·C1T=0.同理可得PC2=0，QC1=0.

2）C1TPC1=（C1TC1）2=IN-1.同理可证 C2TQC2=IN（T-1）.证毕.

由引理 2 可得 Cov（u1）=Cov（C1Tu1）=C1TΣC1=σ12IN-1，Cov（u2）=σε2IN(T-1）.那么用 C1、C2对模型（2）做变换可得如下2个新模型：

其中：yi=CiTy，Xi=CiTX，ui=CiTu，i=1，2.由此可知在线性模型（4）和（5）中的最佳线性无偏估计分别为分别称为 Between 估计和 Within 估计[1]，它们都是β的无偏估计，且它们的协方差阵为

总假定XTPX为可逆阵，在实际中这个假设总是成立的.由残差可以得到 σ12，σε2的无偏估计 s12，s22：

其中：n=N-1-k，m=N（T-1）-k.

对于β的Between估计和Within估计，以及s12、s22，有以下结论：

证明 注意到y1、y2都是y的线性函数，y～N（X β，Σ），故y1，y2的联合分布也是正态分布.由知 y1，y2相互独立.都是 y1的函数都是 y2的函数，所以和相互独立.和s12之间的独立性以及之间的独立性的证明可见文献 [2].X1Ty1，X2Ty2，s12，s22之间独立性的证明可见文献[3].证毕.

为方便起见，记B=X1TX1，W=X2TX2.

将模型（4）和模型（5）合并，得到新模型：

在此模型中，β的最佳线性无偏估计为

其中 σ2=（σ12，σε2）.由上式可以看出的依矩阵为权组合.实际上也是模型（2）中 β的最佳线性无偏估计.但是中包含未知参数σ12和σε2，是不能使用的估计量，将它们用各自的估计来代替，得到β的两步估计

其中 s2=（s12，s22），而不再是 β 的最佳线性无偏估计.由定理1可得

从而，只要

从而，当0＜ z≤ 2时，φ（2-z）z≥0，

故

当 z＞ 2时，φ（2-z）z＜ 0，

故

由以上可知，

由此可知，只要 E（2-z）z＞ 0 ，则β（s2）优于βW.因为 z～ Fm，n，当 z＞4时，Ez2存在，且

同样方法可以得到：

由定理2～3可得如下推论.

这个推论说明中等的样本量就能保证两步估计优于Between估计和Within估计.

下面在均方误差矩阵意义下改进两步估计.

由于D1=W1/2BW-1/2是正定矩阵，故存在正交阵O，使得OTD1O=diag{d1，d2，…，dk}=ΔD，这里d1≥d2≥…≥dk≥0是D1的特征值，也是BW-1的特征值.令L=W1/2OLDLTOTW-1/2，那么

构造β的估计量

显然，当li=0，i=1，2，…，k 时

由定理1可知它是β的无偏估计，且由定理1可得

其中G（L）是对角阵.记 ci= φdi，则 G（L）的第 i个对角元g（li）可表示为

由上式可知g（li）是li的二次函数，当时，取最小值g（li0）.由此可得如下定理.

定理4 对于i=1，…，k，若li位于 0和li0之间，则Cov（β（L））≤ Cov（β（0））=Cov（β（s2））.

虽然当li=li0时，β（L）优于β（s2），但是 li0包含未知量，下面在0和li0之间找一个与位置参数无关的量.令f（c）=1-E，由，可知

引理3 若Ez3存在，则f（c）可导，且

以及Ez3＜+∞，所以Ez2＜+∞.再由上式及控制收敛定理可知对c的导数存在，且求期望和求导可以交换顺序.所以

同样，注意到对任意的c2＞c1≥0，有

以及Ez3＜+∞，根据控制收敛定理可知对c的导数存在，且

由 f（c）的定义可知 f（c）可导，且

由Cauchy-Schwarz不等式[4-5]可得所以f′（c）≤0，f（c）是c的减函数.证毕.

因为ci=φdi＜di，所以f（ci）≥f（di）.若f（di）＞0，那么0＜因为z ～ Fm，n，且

所以存在 d，使得 f（d）≥ 0.而

所以取

则有0≤li1＜li0，由定理4可得

这里L1=，且当 L1≠0时，不等号严格成立.估计β（L1）在均方误差矩阵意义下一致优于β（s2），并且，β（L1）是一个可以使用的估计.

其中 G（L1）是对角矩阵，其第i个对角元为g（li1）.当ci＜ 2m/n时，

其中：δ0（i）=n+2，δ1（i）=2cili1n，δ2（i）=ci[1-2li1+当ci≥2m/n时，

其中：δ0*（i）=m（n+2）/n，δ1*（i）=2mcili1，δ2*（i）=ci[1-2li1+（1+ci）li12]（m+2）.

证明 由式（13）可得β（L1）的协方差矩阵为

其中G（L1）是对角矩阵，其第i个对角元为

Gauss超几何函数的定义为

其中：（a）s=（a+i），（b）s，（c）s类似.当 c ＞ b ＞ 0时，式（16）可用积分表示为

其中 B（·，·）表示 Beta函数.

因为 z～ Fm,n，所以

将以上结果代入式（15）即得结论.

[1]BALTAGIBH.Econometric Analysisof Panel Data[M].Weinheim：John Wiley，2008.

[2]王松桂.线性模型的理论及应用[M].合肥：安徽教育出版社，1987.

[3]王松桂，范永辉.Panel模型中两步估计的优良性[J].应用概率统计，1998，14（2）：177—184.

[4]SHIRYAYEVAN.Probability[M].New York：Springer-Verlag，1984.

[5]严士健.概率论基础[M].北京：科学出版社，1982.