几种思想方法在数学分析教学中的应用

2013-10-29肖应雄

湖北工程学院学报 2013年3期

肖应雄

（湖北工程学院数学与统计学院，湖北孝感432000）

数学分析是高等师范院校数学教育专业的一门重要基础课。无论从知识结构的承前启后，还是从能力的培养和思维品质的提高诸方面看，数学分析教学对师范生的成长都起着十分重要的作用。由于数学分析中概念、定理比较多，因而光靠死记硬背是行不通的。针对这一现象，为了准确地掌握概念、定理，并熟练运用它们，就此列举了四种方法，即类比法、化归法、变式法和图象法。这些方法均可在数学分析课程教学中运用，包括在概念教学中的运用，在定理教学中的运用，在解题中的运用。在教学中巧妙地运用好这些方法，可以为学生探求知识发挥有效的作用。但也须注意，不可机械套用，把未经证明的结论当作真理。

1 类比法在数学分析教学中的应用

类比法（或称类比推理法）是指根据两个问题有一部分特征相类似，从而推出其他特征也可能相类似的一种推理方法。一般地，为了解决数学问题A，会联想一个已经会解的与A有某些类似特征的问题B。于是推测：

1）问题A与问题B有某些类似的结论。

2）用解决问题B的类似办法来解决问题A。

数学分析课程中能够运用类比法思考的问题是很多的，教师在讲授这门课时，不仅要传授知识，培养学生逻辑推理、逻辑论证的能力，还要注重类比法的应用，以培养学生的探究能力，进而提高学生的创造思维能力。

1.1 类比法在概念教学中的运用

数学概念是数学对象本质属性的抽象，因而概念的理解对于学生来说相对较难。而类比法非常具有启发性，因而数学分析中的许多概念可以通过类比法引出并揭示它的本质。

例如，对于二元函数极限的概念，学生理解起来比较困难，但是，学生对一元函数极限却比较熟悉。因而，可以在理解一元函数极限的基础上去理解二元函数极限，它们都是利用ε，δ语言描绘变量的变化过程，因而可类比地表述为：

一元函数的极限：设函数f在点x0的某个空心邻域U°（x0，δ）内有定义，A 为确定的实数。∀ε＞0，∃δ＞0，使得当x∈U°（x0，δ）时，有：｜f（x）－A｜＜ε，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作：（x）＝A

这种方法对概念的理解具有启发性，有利于学生对概念的理解，从此提出新的问题。

1.2 类比法在定理教学中的运用

数学分析中有很多内容是定理的证明与公式的推导，其中有许多定理是可以做互相类比的。通过类比逐步引导学生引出新定理的内容，从而做出推理论证。例如函数极限的性质和柯西收敛准则可通过与收敛数列的性质和柯西收敛准则进行类比，引出它的全部性质。无穷限广义积分通过与数项级数进行类比，引出它的全部敛散性理论。还有（x）g（x）dx与∑anbn都可用阿贝尔判别法判断它们的收敛性。

1）若｛an｝为单调有界数列，且级数∑bn收敛，则∑anbn收敛。

2 化归在数学分析教学中的运用

化归，从字面上看，就是转化和归结的意思。化归思想是指人们在研究问题时，把待解决的研究对象，通过某种转化过程，把它归结到另一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使原问题得到解决的一种思维方法，是一种重要的数学思想方法。

化归思想在解决数学问题时经常用到。对未解决的问题作转化，使之归结为已经解决的问题，从而达到化繁为简、化难为易的目的，可以说解决数学问题的实质就是如何实现化归。在解题教学中，化归策略运用得当不仅可以使解题成功，而且有助于拓宽学生的视野，提高学生迅速解决问题的能力，培养学生的创新精神。

在数学分析解题中，化归思想的运用有两种形式：

1）判断问题，若P、Q是互相等价的命题，则判定P可归结为判定Q，反之亦然。

2）计算问题，若A、B是两个相等的量，则计算A可归结为计算B，反之亦然。

以上两种化归都是可逆的。在数学分析课程里，大量的数量关系都存在着可逆成分，因而数学分析中的很多问题都可以利用化归思想来解决。在解题过程中，若按照思维的习惯陷入困境时，可把思维转到另一逆方向，则更有利于问题的解决。但在具体运用时往往忽略这一方向的化归，有时正是由于这一方向的化归，往往会使人茅塞顿开，绝境逢生，使问题得到解决。