船舶遭遇波浪的VOSS映射快速计算

李梦玉，章社生 (武汉理工大学理学院，湖北 武汉 430063)

船舶遭遇波浪的VOSS映射快速计算

李梦玉，章社生 (武汉理工大学理学院，湖北 武汉 430063)

研究了船舶遭遇波浪的VOSS映射快速计算，建立了高维VOSS映射的Fourier变换数学模型，给出了K个S指示序列的快速算法，理论分析表明，该算法所用乘法次数为(N-1), 远小于快速Fourier变换所用的乘法次数。算例结果表明，不同风速形成的波浪，对应的VOSS映射功率谱序列是不同的。

波浪；VOSS映射；Fourier变换

波浪是海洋科学中重要的研究对象。文献[1]叙述了波浪测量方法和波浪谱计算方法；文献[2]从理论角度阐述船舶在波浪上运动的力学机理和计算方法；文献[3] 研究了海浪的频谱模型，依据海浪的数学模型和海浪的频谱特性,对海浪反演的线性叠加法进行了研究；文献[4]从海洋学现有的观测和研究成果出发, 结合海浪的 Gerstner 模型, 提出一种风力作用下的基于海浪谱的三维 Gerstner 海浪模型；文献[5]对波浪传播变形数学模型的诸多研究成果进行综述，认为波浪传播时会发生变形；文献[6] 利用GPS量测波浪的运动，其中波高和周期的误差均小于5%，且误差不随波浪大小而改变；文献[7]给出了时空聚焦方式生成畸形波的三维波浪模型，认为畸形波一般具有大的波高、时空短暂性的特点，对海事工程和海上航行具有巨大的潜在危险性。下面，笔者用VOSS映射[8-10]研究不同振幅的波。

1 波高VOSS映射

在海洋中，波是由若干个波幅不同的波组成，设S={S(n):S(n)∈I,n=0,1,2,…,N-1}为测量得到的波高序列(或波幅序列)，其中波幅组成的集合为I={A1，A2,…,Ak}, 这里Ak为波幅。对任意b∈I, 令：

(1)

取Fourier变换：

(2)

对于一般的N，将集合K={k|k=0,1,2,…,N-1}分为2个子集：

K1={|k=nb(1),nb(2),…,nb(Mb)}K2=(K-K1)

在集合K1上，u(b,n)=1，在集合K2上，有u(b,n)=0， 则:

(3)

式中:

(4)

2 x(n,k)的计算

对于一般的序数n，当n=2,3,4,…N-1时，集合An={x(n,k)|k=0,1,…,N-1}={x(1,m)|m=0,n,2n,…,n(N-1)}。可以分为n个子集合的和：

(5)

式中，J0=0，Js满足条件sN-N≤JssN。

由周期性，第s个子集合中的序号数减去sN， 则有：

(6)

式中，k0,1=0,ks,1=Js-sN,ks,2=Js+1-sN，且0≤ks

由式(6)可知，An中第(s+1)个子集合中的第一个元素序号数等于第s个子集合中的最后一个元素的序号数减N，再加上n。由U(b,k)的表达式，有：

(7)

初始值为：

U(b,k,0)=0k=0,1,…,N-1

终值为：

U(b,k)=U(b,k,Mb)k=0,1,…,N-1

由式(7)可知，按整数n的次序，能求出U(b,k)的数值。在实际计算中，具有下标的nb,Sb,Mb整流器数值不需要计算，而由程序自动给出。当求出U(b,k)后，再计算序列S的功率谱序列{P(k)} 和总功率E：

(8)

根据上面给出的计算方法，除了加减法外，只用了(N-2)次乘法和一次调用函数计算X=exp(-j2π/N)。若N=2M,用快速Fourier变换计算U(1,k)需要O(N*log(N))次乘法计算。计算K个U(b,k)需要O(K*N*log(N))次乘法计算。而直接计算x(n,k)=exp(-j2knπ/N)所用乘法次数为O(N*N)。可见，在理论上，笔者提出的方法比快速Fourier变换的计算量小。

3 波浪计算

海浪可以表达为下面级数形式[1]：

式中，An为波幅；Kn表示波数；ωn为圆频率。当波浪测量点固定不动时，取x=0,则有：

波高与谱密度的近似关系式为：

An=[2S(ωn)Δω]1/2

(9)

式(9)表明，只要给出谱密度，就可以近似求出波高。笔者选取ITTC推荐的谱公式：

(10)

计算区间为：

(10)

将区间划分为M等份，步长为h。选取有义波高ξ1/3=0.19，M=40, 时间步长0.05，数据采样数N=400。根据波高数据，计算波高绝对值的平均值yM, 将低于平均值的波高数据划分为第1类，其余数据划为第2类，然后求功率谱序列P(k)和总功率E。计算结果表明，笔者提出的快速算法所用CPU计算时间为直接法的三分之一。选取2种风速：V=0.5m/s和V=5.0m/s，对应功率谱序列P(k)的计算结果如图1所示。由图1可知，在低风速V=0.5m/s时，功率谱序列P(k)分布在整个区间；在高风速V=5m/s时，则在两端有较大的值，中间数值较小。图1中，有义波高与风速V的关系为ξ1/3=(V/6.85)2。

图1 功率谱序列P(k)随k的变化

4 结 语

将VOSS映射方法用于海洋波浪研究，给出了只有(N-1)次乘法的快速变换算法，并且波浪实际算例证明该方法计算速度快。笔者的研究只将波高分为了2类，进一步的研究是将波高分为多类。

[1]吴秀恒.船舶操纵性与耐波性[M].北京：人民交通出版社 ,1999:210-230.

[2]刘应中.船舶在波良上的运动理论[M].上海：上海交通大学出版社，1987:2-21.

[3]马杰，田金文，彭复员.海浪的数值模拟及其仿真[J].华中理工大学学报，2004(4):63-65.

[4]刘洁，邹北骥，周洁琼，等.基于海浪谱的 Gerstner 波浪模拟[J].计算机工程与科学，2006(2):41-44.

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[6] 张育玮，董东碌，李汴军，等.利用GPS量测波浪研究[J].海洋工程,2009(4)：73-71.

[7]赵西增,孙昭晨,梁书秀.高阶谱方法建立三维畸形波聚焦模拟模型[J].海洋工程,2009(1)：33-40.

[8] Yin C, Yau S S. Prediction of protein coding regions by the 3-base periodicity analysis of a DNA sequence[J]. Journal of Theoretical Biology，2007，247：687-694.

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[10]Sharma S D, Shakya K, Sharma S N. Evaluation of DNA Mapping Schemes for Exon Detection[A]. International Conference on Computer, Communication and Electrical Technology-ICCCET[C].2011：18-19.

2012-11-26

国家自然科学基金项目(51139005)。

李梦玉(1989-)，女，硕士生，现主要从事应用数学方面的研究工作。

章社生(1955-)，男，博士，教授，现主要从事应用数学方面的教学与研究工作；E-mail:sheshengz@qq.com。

TP391.9；P731.2

A

1673-1409(2013)04-0001-03

[编辑] 洪云飞