构造<br/>——数学竞赛解题的“钥匙”

构造
——数学竞赛解题的“钥匙”

2013-10-26

中学教研(数学) 2013年6期

关键词：奇偶数组个数

●

(松江区第二中学上海 201600)

构造
——数学竞赛解题的“钥匙”

●缪雪松

(松江区第二中学上海 201600)

“问题是数学的心脏”，数学离不开问题的解决．就数学竞赛活动而言，学生在学习数学竞赛知识、掌握数学竞赛技能、领悟数学竞赛思想的过程中，需要解决大量的数学问题．学生独立地分析、解决数学问题的过程，无论是真创造还是类创造，都是一个创造的过程，这样的过程对学生创新能力、实践能力的培养大有裨益．学生在解决数学竞赛问题的过程中，常常会遇到一道道的“关卡”，而“构造”这一策略，便成了突破解题障碍、打通道道“关卡”的神奇钥匙．在复杂的问题背景下，抽取问题的本质属性，寻找到数学知识内在的联系，常常能创造性地构造出新的、简单的数学模型，从而得到原问题的奇思妙解，这就是“构造”的精髓．

本文拟从以下7个方面向读者展现“构造”的无穷魅力．

1 构造代数式

例1已知a+b+c=a2+b2+c2=2，求证：

a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2．

分析求证的等式中的各式，恰好是多项式x(1-x)2中的x分别取a,b,c时的值．因此，本题可转化为证明当x分别取a,b,c时，x(1-x)2的值不变．由于x(1-x)2是关于x的三次多项式，且注意到题设条件，因此可构造三次式(x-a)(x-b)(x-c)，建立它与x(1-x)2之间的某种关系．

证明因为

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,

又

a+b+c=a2+b2+c2=2,

所以

4=2+2ab+2bc+2ca，

从而

ab+bc+ca=1.

于是

(x-a)(x-b)(x-c)=

x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc=

x3-2x2+x-abc,

即

x(1-x)2=(x-a)(x-b)(x-c)+abc.

由此可见，当x分别取a,b,c时，x(1-x)2的值都是abc,因此a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2.

评注本题构造了三次式(x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它与x(1-x)2之间的关系，再通过赋值来证明．

图1

2 构造复数

解设厂址的位置为Z，则Z到3个村庄的供水管道长为

d= |OZ|+|AZ|+|BZ|=

评注本题也可直接利用费马点的有关结论处理．

3 构造数组

例3已知集合A中有49个正整数，它们的约数都是不大于10的质数．求证：其中必有4个整数的乘积是一个整数的4次方．

证明A中的任一元素必可以表示为xi=2αi3βi5γi7δi(i=1,2,…,49)的形式，记xi=(αi,βi,γi,δi)，当且仅当xi=(αi,βi,γi,δi)与xj=(αj,βj,γj,δj)中各个坐标的奇偶都相同时xi·xj=y2(其中y是正整数)，而各坐标的奇偶不全相同的数组最多有24=16个．由抽屉原理可知，每17个不同数组中至少有一对数组对应奇偶均相同．

显然，y1,y2,…,y17这17个数都可以表示成2αi3βi5γi7δi的形式，在y1,y2,…,y17这17个数中，必存在2个数ym,yn满足ym·yn=p2(p为正整数)，则与ym,yn对应的集合A中的4个元素之积即为p4．

4 构造关系

例4已知{a1,a2,…,a2 013}是由2 013个质数构成的集合，b1,b2,…,bn∈{a1,a2,…,a2 013}，则乘积b1b2…bn共有多少个不同的值？

解法1(构造不等关系)

不妨设b1≤b2≤…≤bn．原问题等价于：求满足b1,b2,…,bn∈{1,2,…,2 013}的数组{b1,b2,…，bn}的个数，构造

1≤b1

解法2 (构造顺序关系，即隔板法)

原问题等价于：将编号为1,2,…,n的小球放入编号为1,2,…，2 013的盒中，要求序号大的球放入盒子的编号不小于序号小的球放入盒子的编号，求放法的总数．

5 构造映射

例5把△ABC的各边n等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边或这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平行四边形的个数．

图2

解根据对称性，可先考虑边不平行于BC的小平行四边形．如图2所示，把AB和AC各延长一等分至点B′，C′，联结B′C′．将与AB′平行的n条线分别延长，与B′C′相交得到n个交点，这n个交点与点B′，C′作为线段B′C′的n+2个分点，从点B′至点C′依次记为1，2，…，n+2．图2所示的小平行四边形所在4条直线分别交B′C′于点i，j，k，l．记A={边不平行于BC的小平行四边形}，B={(i,j,k,l)|1≤i