二项分布、Poisson分布与指数分布之间关系的探讨

2013-10-16王丽芳

河南教育学院学报（自然科学版） 2013年2期

关键词：记忆性二项分布指数分布

王丽芳

(广州工程技术职业学院石化工程系，广东广州 510925)

1 预备知识

1.1 二项分布

在同一条件下重复做n次独立的试验，每次试验只有两个对立结果:A发生或者不发生，设在同一试验中A发生的概率是p，不发生的概率是1－p.这时，在n次独立试验中，A出现的次数k是一个随机变量，且有

则该分布称为二项分布，记为X:b(n，p)，这种模型也称为伯努利概型，二项分布数学期望和方差分别是EX=np，DX=p(1－p).

1.2 Poisson分布

Poisson分布是一种刻画罕见事情在一段时间内发生的次数，这一随机变量的分布在实际生活中经常发生，如公共汽车站上候车的乘客数，医院每天看病的人数，电话台接到呼叫的次数，宇宙中单位体积内星球的个数等［1］.设随机变量X可能取值为0，1，2，…，而取各值的概率为

其中λ＞0，则X服从参数为λ的Poisson分布，记为X:π(λ).数学期望和方差分别是EX=λ，DX=λ.

1.3 指数分布

设连续型随机变量X的概率密度为

2 主要结果

2.1 二项分布与Poisson分布的关系

2.1.1 二项分布的Poisson逼近

定理1 二项分布X:b(n，p)，如果n很大，而p很小，设λ＞0，n为任意的正整数，npn=λ.则对于任一固定的非负整数k，有

故当n很大时，而p很小时有下列近似公式

例1 二战期间英国南部576个小区被535枚V－1飞弹击中，计算一个小区恰好被击中2次的概率.

2.1.2 二项分布和Poisson分布最可能值不同

离散型分布的最可能值指的是该随机变量取值中那些使概率达到最大的值，即若任意一个离散型分布，若pk=sup(p1，p2，…，pn，…)则称xk为此分布的最可能值.可以证明，任何离散型分布的最可能值一定存在，而且至少有一个［2］.

一般离散型分布的最可能值不唯一，二项分布B(n，p)中，当(n+1)p为非负整数时，恰有两个最可能值:(n+1)p与(n+1)p－1.Poisson分布最可能值为λ.

结果:(1)在时间t内某事件A出现的次数由于条件关系，可能是二项分布，也有可能是Poisson分布;

(2)当n很大，P很小，二项分布可以用Poisson逼近.

2.2 Poisson分布和指数分布的关系

2.2.1 无记忆性

对于连续型分布来说，指数分布是唯一的具有无记忆性的.在可靠性问题中，把X理解为某元件的寿命，则无记忆性表示某元件的寿命，如果已知大于t年，其寿命再延长n年的概率与年龄无关.仍然如同新的产品一样，不影响以后的工作寿命值.或者说，经过t年的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同.

具有无记忆性的离散型分布也是存在且唯一的，那就是几何分布.可以证明二项分布和Poisson不具备无记忆性.

2.2.2 Poisson分布和指数分布的关系

我们知道在公共汽车站上候车的乘客数，医院每天看病的人数，电话台接到呼叫的次数，宇宙中单位体积内星球的个数等都可以用Poisson分布来描述，即，并且还知道其中的参数λ为单位时间内(乘客人数、看病的人数、电话呼叫次数、星球的个数等)的平均值.如果现在考察的不是单位时间，而是［0，t］，那么这个平均值是λt，又因为Poisson分布具有可加性，所以在［0，t］这段时间内(乘客人数、看病的人数、电话呼叫次数、星球的个数等)应该服从的分布为，这是一个参数为λt的Poisson分布.由此可知，上述在［0，t］时间内乘客人数、看病的人数、电话呼叫次数、星球的个数等虽然来源于不同的实际问题，却有着相同的数量规律——都可以用Poisson分布来描述，在数学(排队论)中称它们是“泊松流”.以机场跑道为例，在来到一架飞机以后，这条跑道就空着等待下一架飞机的到来，这段空闲时间称为“等待时间”，它的长短当然是随机的［2］.在公用事业(电话、公共汽车、飞机场等)的设计与规划中，这个“等待时间”太长和太短都是不合理的，因而有必要研究这个“等待时间”有怎样的统计规律.

设A在［t0，t0+t］的时间内发生的次数服从参数为λt的Poisson分布