铜套利比值追踪——沪伦头寸配比的数学推导
2013-10-12文/张傲
文 / 张 傲
综述
不同的头寸配比下，比价或者价格波动将会给持仓损益带来不同的影响。在交易层面上，沪伦正向跨市对冲操作存在多种双边数量配比方法，实际操作者得到的经验包括：倘若按照1:1数量配比，则相当于多配置了SHFE市场空头；倘若按照0.85:1的数量配比，则相当于考虑进了增值税因素。
本文通过数学公式推导，以及数据演算的方式得到如下3个主要论断：
（1）跨市对冲头寸建立后影响总损益的变量除了比价，还可能包括比价变动或者不变时的价格波动，这取决于沪伦两地头寸的数量配比；
（2）当按照1:1配比时，价格下跌是正向跨市对冲最有利的价格环境；而按照（汇率/开仓比价）进行配比时，比价下跌伴随价格上涨才是最有利的价格环境；
（3）在实际操作中，0.85:1的数量配比是对（汇率/开仓比价）配比的近似估计。
此外，上述结论都建立在持仓期间人民币汇率不变的基础之上，但这可能与未来汇率市场化的格局不相吻合。
头寸配比有学问
跨市对冲交易可以将获利方式和风险来源由垂直价格波动转化为两地相对价格波动，换句话说，我们可能想达到的，是两地相对价格固定时的价格波动将不应该给跨市对冲交易带来任何损益。
一手SHFE铜的交易单位是5吨，一手LME铜的交易单位是25吨，如果按照1:1数量配比做一套SHORT SHFE- LONG LME，则需要5手SHFE空头，1手LME多头。实际操作者得到的经验告诉我们：倘若按照1:1数量配比，则相当于多配置了SHFE市场空头；倘若按照0.85:1的数量配比，则相当于考虑进了增值税因素。
本文将通过数学公式推导，以及数据演算的方式来将沪伦市场不同数量配比下的正向跨市对冲交易头寸在多种情形下的损益进行分类、全文做出的假设，以及使用的符号含义如右所示：
内外盘账户的总损益为：Y=△LME×E×QLME-△SHFE×QSHFE③
（△LME与△SHFE自身不带符号）
No1: 1:1数量配比并且保持比价不变
由于B=B'，则根据等比定理可得：
1:1数量配比意味着QSHFE=QLME，因此内外盘账户总损益③可以简化为：
将④带入⑤可得：
或 =Q×△SHFE×
LME
结论
（1）由于实货进口报关需要缴纳17%的增值税，故沪伦比价B大于汇率E是正常情况，即(E-B)<0 ；
（2）正向跨市对冲头寸按照1:1建仓后尽管保持比价不变，但价格上涨(△LME>或△SHFE>0)时仍将导致头寸亏损、价格下跌(△LME<或△SHFE<0)时将导致头寸盈利。
计算实例1：1:1建仓后尽管保值比价不变，但价格上涨仍将导致头寸亏损、价格下跌将导致头寸盈利
建仓价格SHFE=50978元/吨；
建仓价格LME=7000美元/吨；
汇率E=6.2；
计算结果显示：若按1:1比例建仓：当SHFE价格上涨1000元/吨抑或LME价格上涨137.31美元/吨后，整体头寸亏损148.65元 /吨；当SHFE价格下跌1000元/吨抑或LME价格下跌137.31美元/吨后，整体头寸盈利148.65元 /吨。
No2: 1:1数量配比并且比价下跌
B>B'，并将①②代入③可得：
或
结论
（1）⑦的正负取决于△LME(E-B')+SHFE(1-
（3）(E-B')<0；
（4）当价格下跌时(△LME<0或△SHFE<0)，⑦大于 0恒成立；当价格上涨时(△LME>0或△SHFE>0)，⑦既有可能大于0也有可能小于0；
（5）可归纳为：当比价与价格同时下跌时，正向跨市对冲头寸必然盈利；而当比价下跌、价格上涨时，正向跨市头寸是否盈利将取决于价格上涨幅度。
计算实例2：1:1建仓并且比价下跌，如果价格同时下跌则必然盈利，但价格上涨则最终未必盈利。
建仓价格SHFE=50978元 /吨；
建仓价格LME=7000美元/吨；
汇率E=6.2；
变化比值B'=7.254。
计算结果显示：若按1:1比例建仓：当SHFE价格下跌100元/吨以及2000元/吨时（对应LME价格上涨13.79美元 /吨、下跌248.14美元 /吨），总头寸盈亏分别上涨185.47元/吨以及上涨461.54元 /吨；但是当SHFE价格上涨1000元/吨以及2000元/吨时（对应LME价格上涨165.43美元/吨、303.28美元/吨），总头寸盈亏分别为上涨25.64元 /吨和下跌119.66元 /吨，并未体现出都为盈利的情形。
No3: 1:1数量配比并且比价上涨
B 或=Q[△SHFE( LME-1)+SHFE(1- )] 结论 （1）⑧的正负取决于△LME(E-B')+SHFE(1- )； )<0恒成立； （3）(E-B')<0； （4）当价格上涨时(△LME>0或△SHFE>0)，⑧小于 0恒成立；当价格下跌时(△LME<0或△SHFE<0)，⑦既有可能大于0也有可能小于0； （5）可归纳为：当比价与价格同时上涨时，正向跨市对冲头寸必然亏损；而当比价上涨、价格下跌时，正向跨市头寸是否盈利将取决于价格下跌幅度。 计算实例3：1:1建仓并且比价上涨，如果价格同时上涨则必然亏损，但价格下跌则最终未必亏损。 建仓价格SHFE=50668元/吨； 建仓价格LME=7000美元/吨； 汇率E=6.2； 变化比值B'=7.254。 计算结果显示：若按1:1比例建仓：SHFE价格下跌100元/吨，以及2000元/吨时（对应LME价格下跌28.95美元 /吨、下跌153.02美元 /吨），总头寸盈亏分别亏损79.49元/吨，以及盈利51.28元/吨，并未体现出都为亏损的情形；但是当SHFE价格上涨1000元/吨，以及2000元/吨时（对应LME价格上涨122.69美元/吨、260.55美元 /吨），总头寸盈亏都为亏损，数值分别为：下跌239.32元 /吨和下跌384.62元 /吨。 No4: 如何做到比价不变时，头寸损益不受价格波动影响 在比价不变时，头寸损益始终不受价格波动影响，这意味着在B=B'条件下， ③：Y=△LME×E×QLME-△SHFE×QSHFE需要恒成立。 结论 计算实例4：当SHFE与LME头寸比例为E/B时，价格波动不会对跨市对冲头寸损益带来影响。 建仓价格SHFE=50978元/吨； 建仓价格LME=7000美元/吨； 汇率E=6.2； 计算结果显示：若按E/B:1比例建仓并且保持比价不变：SHFE价格下跌1000元/吨时（对应LME价格下跌137.31美元/吨），总头寸不发生任何损益；当SHFE价格上涨1000元 /吨时（对应LME价格上涨137.31美元/吨），总头寸同样不发生任何损益。 No5: 按E/B的比例开仓并且比价波动时 或 =Q×SHFE× SHFE2 结论 （1）当B>B'，即比价下跌时跨市对冲头寸盈利，并且价格上涨越多，盈利越多。 （2）当B>B'，即比价上涨时跨市对冲头寸亏损，并且价格上涨越多，亏损越多。 计算实例5：当SHFE与LME头寸比例为E/B时，后续比价下跌时头寸盈利，并且价格上涨越多盈利越多。 建仓价格SHFE=50978元/吨； 建仓价格LME=7000美元/吨； 汇率E=6.2； 变化后比值B'=7.254； 计算结果显示：若按E/B：1比例建仓：当SHFE价格下跌100元/吨，以及下跌1000元/吨时（对应LME价格上涨13.79美元 /吨、下跌110.28美元 /吨），总头寸盈亏分别为盈利170.6元/吨以及盈利167.59元 /吨；当SHFE价格上涨1000元 /吨，以及1000元 /吨时（对应LME价格上涨41.36美元 /吨、165.43美元/吨），总头寸盈亏分别为盈利171.28元/吨和174.29元/吨。可见，价格上涨时的盈利要高于价格下跌时的盈利，并且价格上涨越多，盈利越多。 数据测算表6：当SHFE与LME头寸比例为E/B时，后续比价上涨时头寸亏损，并且价格上涨越多，亏损越多。 建仓价格SHFE=50668元/吨； 建仓价格LME=7000美元/吨； 汇率E=6.2； ; 变化后比值B'=7.254； 计算结果显示：若按E/B：1比例建仓：当SHFE价格下跌100元 /吨以及1000元 /吨时（对应LME价格下跌28.95美元 /吨、下跌153.02美元 /吨），总头寸盈亏分别为亏损93.83元 /吨以及亏损92.16元 /吨；当SHFE价格上涨100元/吨以及1000元 /吨时（对应LME价格下跌1.38美元 /吨、上涨122.69美元/吨），总头寸盈亏分别为亏损94.2元/吨和亏损95.87元 /吨。可见，价格上涨时的亏损要高于价格下跌时的亏损，并且价格上涨越多,亏损越多。 总结 在上述5个实例中，我们通过数学公式推导，以及数据演算得到了如下3个主要论断： （1）跨市对冲头寸建立后影响总损益的变量除了比价，还可能包括比价变动或者不变时的价格波动，这取决于沪伦两地头寸的数量配比； （2）当按照1:1配比时，价格下跌是正向跨市对冲最有利的价格环境；而按照（汇率/开仓比价）进行配比时，比价下跌伴随价格上涨才是最有利的价格环境； （3）实际操作中0.85:1的数量配比是对（汇率/开仓比价）配比的近似估计。 此外，上述结论都建立在持仓期间人民币汇率不变的基础之上，但这可能与未来汇率市场化的格局不相吻合。
