一种基于PDE与结构-纹理分解的图像去噪方法

邱淑芳， 刘西林， 刘胜兰

(东华理工大学理学院，江西 南昌 330013)

在实际应用中，由于成像环境和感光元件的影响，得到的图像往往存在噪声，所以，图像去噪作为图像处理中的一个经典的问题，是图像处理后期进行图像分析和图像理解的前提。图像去噪的偏微分方程(PDE)方法在图像处理领域被广泛研究(陈科等，2008;刘西林等，2012;Rudin et al.，1992)。由Rudin等(1992)提出的ROF模型，可以看作二阶PDE去噪模型的代表，该方法在去除图像噪声方面表现出了优良的特性，但是这些二阶方法往往会产生“阶梯效应”，为了避免这一现象，高阶PDE逐渐受到了人们的关注(陈波等，2008;Lysaker et al.，2003;You et al.，2000;Kim et al.，2009;Yi et al.，2006;Chan et al.，2010)。此外，李小霞等(2012)还将偏微分方程去噪应用在磁共振电阻抗成像，取得了比较好的实验效果。高阶PDE在图像去噪的同时，对图像的纹理等特征保持较好。

在图像分析中，往往需要提取图像的纹理特征来进行分析，所以，图像分解也有很多方法(宋锦萍等，2009;Osher et al.，2003;Jiang et.al，2009;Lieu et al.，2008;Le et al.，2005)。宋锦萍等(2009)将ROF模型和Lysaker等(2003)的一个模型结合，构造出一种新的图像分解去噪模型，该模型不仅去除了图像噪声，还将图像的纹理部分和结构部分区分开来。

1 新模型的提出

Rudin等(1992)提出的ROF模型，作为经典的变分去噪模型，在图像处理领域得到了广泛的研究。该模型极小化泛函

使得

其中f为噪声图像，u为去噪后的重建图像，σ为噪声方差，Ω为图像的支撑集。经变分运算，可得(1)与(2)式的Euler-Lagrange方程为

为获得去噪后的图像u，Rudin等(1992)采用梯度下降法求解方程(3)，即求解下述抛物型方程初边值问题

该模型对一般图像去噪效果很好，但是对于纹理多的图像去噪效果则不好，因为在去除噪声的同时会去除很多图像的纹理等细节特征。此外，随着迭代次数的增加，该方法也会产生“阶梯效应”。为了克服ROF模型的“阶梯效应”，并且在去噪的同时保持图像更多的细节特征，Lysaker等(2003)提出了两种四阶的PDE去噪模型，即将(1)式中泛函F1(u)替换为泛函F2(u)或泛函F3(u)，这里泛函F2(u)与泛函F3(u)分别为

与

相对于二阶的ROF模型，四阶的PDE去噪模型在纹理保持方面有了很大的改进。本文记极小化F2(u)的去噪模型为LLT1，记极小化F3(u)的去噪模型为LLT2。宋锦萍等(2009)利用图像分解的思想方法，结合ROF模型与LLT1模型，提出了一种图像分解去噪模型(DD模型)，该模型将噪声图像分解成结构、纹理与噪声三个部分。从计算结果和视觉效果上来看，该分解模型既能去噪，又能实现图像的分解，并且能保留较多地纹理等细节特征信息。本文则是利用LLT2模型，结合图像分解思想，提出一种新的图像分解去噪模型。从(7)式可以看出，LLT2模型较LLT1模型更为复杂，算法的实现上也更难。提出图像去噪分解模型为极小化泛函

使得

其中u为去噪后图像的结构部分，v为去噪后图像的纹理部分，f为原始噪声图像，0＜β＜1为一常数。一般地，β越大，v中包含的纹理信息越多;反之，v中包含的纹理信息越少。那么去噪后该模型可以将图像分解为结构u，纹理v和噪声η=f－u－v三部分，u+v即为去噪后的图像。

2 算法的设计

利用变分方法，得到对应(8)式的Euler-Lagrange方程

其中f为噪声图像，u为去噪后图像结构部分，v为去噪后图像纹理部分，

将方程(9)和(10)关于时间方向离散，分别得

(11)式中关于空间方向的一阶和二阶导数比较容易实现的(宋锦萍等，2009)。但是，(12)式中的四阶偏导数的数值实现则相对更为困难，一般采用

3 实验结果

选取Lenna图像和Barbara图像分别进行试验，在原始图像中加入σ =0.08的高斯白噪声，并将新模型与DD模型的分解效果相比较，也与ROF模型，LLT1模型，LLT2模型，与DD模型去噪效果相比较。新模型中选取参数 β =0.1，Δt1=0.02，Δt2=0.1，DD模型中选取 α =0.1，Δt1与 Δt2参数值与新模型一致，ROF模型时间步长 Δt为0.02，LLT1与LLT2的时间步长均为0.1。为了更加明显地观察图像分解去噪效果，最后将Barbara图像局部进行分解去噪，并给出结果的比较。对于试验结果，引入均方误差(Mean Square Error，MSE)和峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)两个指标，其定义分别如下:

图1给出了Lenna图像的试验结果。其中，图1m，n，o，p为本文新模型所得结果，与DD模型所得结果对应。为了定量地评价这些模型，在表1中分别给出了ROF模型，LLT1模型，LLT2模型，DD模型和新模型的MSE和PSNR。

表1 去噪方法MSE与PSNR值比较(Lenna图像)Table1 MSE and PSNR comparison on Lenna image

此外，用Barbara图像进行试验(图2)，其中子图的含义同图1。表2对应了几种模型对Barbara图像去噪后的MSE值和PSNR值的比较。为了更加明显地表现各个模型的去噪特征，对Barabar图像的局部进行放大观察(图3)。

表2 几种去噪方法MSE与PSNR值比较(Barbara图像)Table1 MSE and PSNR comparison on Barbara image

从图1，图2和图3中可以看出，新模型与DD模型都可以将图像的结构，纹理部分区别开来。ROF模型去噪后图像中存在着“阶梯效应”，而在LLT1和LLT2模型，DD模型和本文提出的新模型中，这种现象减弱很多，而且新模型对于图像的纹理部分的保持也较好。从残差图像的比较，发现几种模型的去噪图像中都存在着一定纹理等细节特征的损失。为了定量地表现这些模型去噪效果的区别，从表1，表2中的MSE值和PSNR值来看，DD分解模型和本文提出的新模型的MSE值要明显小于其它模型，同时，PSNR的值也相对较大。而从表1，表2来看，新模型的MSE值均稍微小于DD分解模型，也就说明新模型的去噪效果较好于其他几种模型。

4 结论

本文在分析ROF模型和LLT2模型去噪效果的基础上，提出了一种新的图像分解去噪模型，新模型不仅可以去除图像噪声，而且可以分别提取噪声图像的结构部分和纹理部分，为以后进一步的图像分析提供条件。此外，从仿真模拟实验的去噪结果上看，本文提出的新模型去噪效果略优于其他几个已有模型效果。

图1 Lenna图像去噪结果Fig.1 The denoising effect on Lenna image

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图2 Barbara图像去噪结果Fig.2 The denoising effect on Barbara image

图3 Barbara局部图像去噪结果Fig.3 The magnified local denoising effect of Barbara image

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