基于Monte-Carlo仿真的制导系统多准则决策设计方法

张一航，侯明善

（西北工业大学 自动化学院，陕西 西安 710072）

制导系统是制导武器系统的核心，其设计应兼顾系统精度、子系统的协调性、成本等多种准则要求[1-2]。同时，在实际运行状态下的系统参数往往和设计值之间有一定的偏差，即参数漂移。通过确定性方法决策出的最优系统，在参数发生漂移时，不一定能保持原有性能。近年来，针对复杂系统的总体设计问题，系统工程领域的多准则决策方法受到越来越多的重视。多准则决策方法通过将设计问题转化为决策问题，能够同时考虑多个决策准则，有效进行系统总体设计，缩短系统设计周期。但传统的多准则决策方法只能解决确定性决策问题，对不确定性问题无能为力[3-7]。本文利用Monte-Carlo仿真，将不确定性信息以概率分布函数的形式建模，并与决策矩阵融合，结合多准则决策方法，对制导系统的不同备选方案进行决策。

1 制导系统模型

考虑平面拦截制导问题，弹目相对运动关系为

式中，R表示弹目距离、q表示弹目视线角、VM和VT分别表示导弹和目标的速度，θM和θT分别表示导弹的弹道倾角和目标的航迹角。

导弹弹道倾角θM与其法向加速度θM、目标航迹角θT与其法向加速度aT满足关系

考虑如图1所示的制导系统结构，它由目标动力学、弹目相对运动关系、导引头动力学、制导律、制导指令限幅和导弹动力学组成。

图1 制导系统结构图Fig.1 Structure diagram of guidance system

设制导系统制导律为比例导引，导弹法向加速度指令受弹体最大可用过载约束，设过载限幅值为nzm，则附加限幅的加速度指令为：

其中N为比例导引导航比。

导引头动力学特性用带延迟环节的一阶惯性环节描述，其传递函数为

这里τ是纯延迟环节的延迟时间，TS表示导引头动态时间常数，q˙M是导引头测量的视线角速率，其输入是弹目视线角速率q˙。

导弹弹体和目标飞行器的动力学等效模型用二阶环节描述，其传递函数分别为：

式中TM、ξM分别表示弹体动力学模型的时间常数和阻尼比，TT和ξT分别表示目标动力学模型的时间常数和阻尼比。

2 设计参数和决策准则的选取

前面给出了导弹制导系统的模型，系统共涉及5个主要设计参数：分别是弹体等效时间常数TM和阻尼比ξM，导引头延迟时间τ，比例导引导航比N和导弹法向加速度指令限幅值nzm。这5个设计参数的每一种取值组合，就是制导系统设计中的一种备选设计方案。

在决策准则的确定中，主要考虑以下3个因素：

1）不同发射初值下的脱靶量应尽可能小：即脱靶量样本均值md和样本方差Sd应最小；

2）比例导引导航比N不应过大，以保证制导系统的稳定性；

3）导引头的延迟时间τ和导弹法向加速度指令限幅值nzm应尽量小，以降低制导控制系统的元器件成本和控制能量成本。

上述5个决策准则是5个设计参数的函数，当设计参数确定时，决策准则也应当确定。但是，在实际的产品生产和操作过程中，设计参数会在原设计值基础上发生漂移，使得决策准则产生随机波动。这样，在确定性准则下性能优异的方案，可能在发生漂移后性能变差，使得决策失败。

为使决策方案对参数漂移具有鲁棒性，将5个设计参数设为相互独立的正态随机变量，均值为该参数的设计值，标准偏差为该参数设计值的5%，这样，每个随机变量的域即是该参数设计值的。这5个设计参数组成了一个随机向量

其均值向量μX和协方差矩阵KX为

随机向量X的概率密度函数为

这样，我们就将系统参数的不确定性引入了导弹制导系统模型中，由于系统参数是随机变量，按某备选方案配置的导弹制导系统在不同初始条件下的脱靶量均值和方差也是随机变量。这两个随机变量的分布函数无法直接求出，因此，利用Monte-Carlo方法建立这两个随机变量的经验概率分布函数（ecdf），以代替随机变量的概率分布函数（cdf）。

利用Monte-Carlo方法，在每组设计方案的基础上按照（8）式的概率分布产生 500 组随机参数，代入（1）～（5）式的模型中进行仿真，得到md，Sd的ecdf曲线，并取其上侧α分位数，如图2及图3所示。α衡量了决策的风险程度，α越大，决策风险越大。

图2 ma的取法Fig.2 Evaluation of ma

图3 Sa的取法Fig.3 Evaluation of Sa

在文献[8]中的34组方案基础上，我们通过Monte-Carlo仿真得到风险程度为时的各决策准则值。当α=0.1时，决策准则值如图4～图8所示。这样就得到如式（9）所示的决策矩阵D。

3 TOPSIS方法决策过程

TOPSIS方法基于如下思想：决策问题的一个有限解集中，最优解与理想最优解的欧氏距离最近，与理想最劣解的欧氏距离最远[6]。TOPSIS方法通过对有限解集进行排序得到“最优解”。同时，在给定置信度条件下也能对随机决策问题的解集进行排序。

根据文献[6]，TOPSIS方法对决策矩阵D进行了如下6步操作：

步骤1:建立归一化决策矩阵，使得不同决策准则之间具有可比性。方法是将D中的每个元素除以该元素所在列向量的2范数，如（10）式所示：

图4 a=0.1时的maFig.4 mawith a=0.1

图5 a=0.1时的SaFig.5 Sawith a=0.1

图6 导引头延迟时间Fig.6 Seeker delay time

图7 比例导引导航比Fig.7 Proportional navigation ratio

图8 法向过载限幅Fig.8 Maximal normal overload

步骤2:建立加权归一化决策矩阵。决策过程往往受决策者主观偏好的影响，决策者的主观偏好通过权值向量引入到每个决策元素，权值向量形式如下：

对步骤1中得到的归一化决策矩阵的每个列向量乘其对应的权值wj，就得到加权归一化决策矩阵：

步骤3:确定理想最优解和理想最劣解。理想最优解A*对应的各决策准则使得系统性能最优，成本最低；而理想最劣A-解对应的各决策准则使得系统性能最差，成本最高。对选定的5个决策准则而言而言，参数值均是越小性能越好，成本越低；反之则性能越差，成本越高。对加权归一化决策矩阵 V 因为有 0＜vij＜wj，因此

步骤4:计算各备选方案与理想最优解和理想最劣解之间的欧氏距离。备选方案与理想最优解和最劣解的距离为：

步骤5:计算备选方案与理想最优解的相对接近度。相对接近度定义为：

当 Ci*=1 时，ri=A*，当 Ci*=0 时，ri=A-。 备选方案与 A*越接近，Ci*越接近 1。

步骤6:对每个备选方案所对应的Ci*值降序排列，得到备选方案的优先级排序。从相对接近度的排序可以看出，方案23是在鲁棒性意义下的多准则最优方案。

表1 权值向量取值Tab.1 Weight vector

图9 不同权值方案相对接近度曲线Fig.9 Relative closeness curves of different weights

4 结 论

文中针对导弹制导系统在生产和工作过程中发生的参数漂移，设计了不确定性多准则决策方法，并用此方法进行了导弹制导系统的总体设计。建立了导弹制导系统考虑参数漂移的不确定性模型，利用Monte-Carlo方法建立了各决策准则的经验概率分布函数，利用经验概率分布函数在一定的风险程度下建立了决策矩阵，并利用 方法进行决策，选择出鲁棒性意义下的最优方案。分析发现，利用文中提出的不确定性多准则决策方法，能够保证决策出的备选方案对参数漂移具有较强的鲁棒性，在一定的鲁棒性前提下，该备选方案在性能和成本能多准则意义下具有最优性。

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