旋转粘弹性夹层梁非线性自由振动特性研究*

蒋宝坤 李映辉 李亮

(西南交通大学力学与工程学院，成都 610031)

旋转粘弹性夹层梁非线性自由振动特性研究*

蒋宝坤 李映辉†李亮

(西南交通大学力学与工程学院，成都 610031)

对旋转粘弹性夹层梁的非线性自由振动特性进行了分析．基于Kelvin－Voigt粘弹性本构关系和大挠度理论，建立了旋转粘弹性夹层梁的非线性自由振动方程，并使用Galerkin法将偏微分形式振动方程化为常微分振动方程．采用多重尺度法对非线性常微分振动方程进行求解，通过小参数同次幂系数相等获得微分方程组，并通过求解方程组及消除久期项来获得旋转粘弹性夹层梁非线性自由振动的一次近似解．用数值方法讨论了粘弹性夹层厚度、转速和轮毂半径对梁固有频率的影响．结果表明:固有频率随转速增大而增大，随夹层厚度增大而减小，随轮毂半径的增大而增大．

旋转粘弹性夹层梁， Kelvin－Voigt， 非线性振动， 多重尺度法， 近似解， 固有频率

引言

粘弹性夹层梁结构通常是由刚度较大的上下约束层和中间夹心层构成．Younesian［1］等研究了粘弹性旋转梁的非线性振动;应祖光［2］、吴强［3］等研究了粘弹性夹层梁的线性与非线性的振动特性和响应;李中华［4－5］等研究了轴向运动粘弹性夹层板的振动分析以及轴向运动粘弹性夹层板的多模态耦合横向振动;吕海炜［6］等对轴向变速运动粘弹性夹层梁的横向振动分析作了研究;Valverde［7］等分析了旋转梁的附属结构的稳定性;Mahmood［8］等对Kelvin－Voigt粘弹性梁的非线性自由振动作了研究;Nayfeh［9］等研究了线性和非线性结构力学;Abolghasemi［10］等研究了旋转粘弹性梁的吸引子;Nayfeh［11］等对非线性波动作了研究．目前，对旋转梁的研究尚为少见，而工程中常会遇到旋转梁类问题．本文基于Kelvin－Voigt粘弹性本构关系和几何大变形理论，建立旋转粘弹性夹层梁自由振动方程，采用Galerkin法和多重尺度法求解非线性振动方程，给出了振动方程的一次近似解．

1 旋转粘弹性夹层梁控制方程

本文基于如下基本假设:

(1)不考虑转动惯量和剪切变形影响;(2)只考虑横向位移;(3)截面变形满足平面假设;(4)层与层之间没有相对滑移;(5)层与层之间横向位移连续．

1．1 旋转粘弹性夹层梁模型

图1为旋转粘弹性夹层梁模型，上下两层为对称约束层，厚度均为h/2，中间为夹心层，厚度为H，轮毂半径为R并以转速Ω绕转轴转动．上下层弹性模量E，密度ρ，夹心层为粘弹性材料，弹性模量E0，密度 ρ0，阻尼系数 η0，等效线密度为:ρeq=(ρh+ρ0H)(h+H)．

图1 旋转粘弹性夹层梁模型Fig．1 Model of rotating sandwich beam

旋转粘弹性夹层梁的平衡方程:

式中，w为z方向上的挠度，N为轴力，b为梁的宽度，M为弯矩，w，x，M，xx分别表示w和M对x的一阶、二阶偏导．

1．2 旋转粘弹性夹层梁控制方程

使用几何大变形理论，夹层梁轴向应变为

式中，εx为轴向应变，上、下约束层本构关系为

夹心层为Kelvin粘弹性材料，其本构关系为

σc和σj分别为约束层和夹层在x方向的正应力，其截面弯矩为

梁的总质量m=(ρh+ρ0H)bl，则距固定端x处截面上的离心力为

其中Ω为旋转角速度，轴力N可表示为

将(5)、(7)式代入(1)式中，得

取w(x，t)=φ(x)q(t)，其中 φ(x)为满足边界条件的模态函数，q(t)为广义模态坐标．代入(8)式，两端同乘 φ(x)后在［0，l］对x积分，整理得

(9)式可化为

(10)式可进一步整理为:

令q(t)=εq^(t)，2ζω0=ε，ε 为小参数．将q(t)和2ζω0代入(11)式中，得

(12)式即为旋转粘弹性夹层梁的自由振动方程．

2 旋转粘弹性夹层梁振动方程的求解

2．1 求解方法及过程

采用多重尺度法，令

其中，Tn=εnτ，将(13)式代入到(12)式中，比较 ε的同次幂系数

由(14)式得

将(17)代入(15)式，得

(18)式中，cc表示共轭项，消除(18)式的久期项，可得

这样，由(18)式可以解得

将(17)、(20)式代入(16)式，得

消除(21)式中的久期项，得

经整理后，(22)式化为

将(19)式代入(23)式中，经整理后得

H对时间求导

因为H=H(T1，T2)，所以D0H=0，即

将(19)、(24)式代入(26)式中，得

为便于解出H，将它写成复数形式，即设

其中a和γ是时间的实函数，则H对时间求导得

将(28)式代入(27)式中，经整理得

(29)式和(30)式实部、虚部对应相等，得

由(31)、(32)式得

将 ε还原成 2ζω0，(33)、(34)式变为

(35)、(36)式的稳态解对应系统的不动点，由a=0， γ=0可得

2．2 一次近似解

(39)式中，α、β、ζ，ω0均为常数．这样给定一个满足cosγ和sinγ均在［－1，1］这个区间内的ε值，就可以通过(40)式求出a，结合(37)式，可以求出γ．由(17)式，可得系统的一次近似解为

由(40)式可见，a为振幅，γ为相位差．

3 数值仿真与讨论

计算所用材料参数如表1，几何参数如表2．

表1 旋转粘弹性夹层梁材料参数Table 1 Material parameters of rotating viscoelastic beam

表2 粘弹性夹层梁几何参数Table 2 Geometry parameters of viscoelastic sandwich beam

3．1 转速的影响

首先讨论转速对结构一阶固有频率和损耗因子的影响．l=1 m，b=0．002 m，H+h=0．005 m，R=0．05 m，转速从0到50 rad/s间变化．三种夹层厚度比下一阶固有频率随转速变化如图2．

可见，在夹心层厚度一定时，旋转粘弹性夹层梁的一阶固有频率随转速增大而增大;在转速相同时，夹心层越厚，一阶固有频率越小．

图2 一阶固有频率随转速变化图Fig．2 First natural frequency versus rotating velocity

3．2 轮毂半径的影响

取l=1 m，b=0．002 m，H+h=0．005 m，Ω =50 rad/s，计算H/(H+h)=0．6，0．7，0．8 时，轮毂半径R的变化对系统一阶固有频率和损耗因子的影响，结果如图3．

图3 一阶固有频率与转速比随R的变化Fig．3 The ratio of first natural frequency to rotating velocity versus the variation of R

可见，R的增大会使旋转粘弹性夹层梁的一阶固有频率略有增加，但不明显．

4 结论

本文对旋转粘弹性夹层梁的非线性自由振动特性作了研究，通过多尺度法求解非线性振动方程，并得到一次近似解．此外还讨论了固有频率随转速及轮毂半径的变化，结论如下:

1)固有频率随转速增大而增大，随夹层厚度增大而减小;

2)固有频率随轮毂半径R的增大而增大．

1 Younesian D，Esmailzadeh E．Non－linear vibration of variable speed rotating viscoelastic beams．Nonlinear Dynamics，2010，60:193 ～205

2 应祖光，奚德昌．粘弹性阻尼夹层梁的振动分析．强度与环境，1993，2:31～38(Ying Z G，Xi D C．Vibration analysis of viscoelastic damping sandwich beam．Structure and Environment Engineering，1993，2:31 ～ 38(in Chinese))

3 吴强，凌道盛，徐兴．粘弹性几何非线性夹层梁动态响应分析．计算力学学学报，1997，14(1):36～42(Wu Q，Ling D S，Xu X．Dynamic response analysis of geometrical non linearity viscoelastic sandwich beam．Journal of Computational Mechanics，1997，14(1):36 ～42(in Chinese))

4 李中华，李映辉．轴向运动粘弹性夹层板的振动分析．四川大学学报，2011，43:147～151(Li Z H，Li Y H．Vibration analysis of axially moving viscoelastic sandwich plate．Journal of Sichuan University，2011，43:147 ～ 151(in Chinese))

5 李中华，李映辉．轴向运动粘弹性夹层板的多模态耦合横向振动．复合材料学报，2012，29(3):219～225．(Li Z H，Li Y H．Muti－mode coupled transverse vibration of the axially moving viscoelastic Sandwichplate．Acta Materiae Compositae Sinica，2012，29(3):219 ～225(in Chinese))

6 Lv H W，Li Y H，Liu Q K，Li L．Analysis of transverse vibration of axially moving viscoelastic sandwich beam with time－dependent velocity．AdvancedMaterialsResearch，2011，338:487 ～490

7 Valverde J，García－Vallejo D．Stability analysis of a substructured model of the rotating beam．Nonlinear Dynamics，2009，55(4):355～372

8 Mahmoodi S N，Khadem S E，Kokabi M．Non－linear free vibrations of Kelvin－Voigt visco－elastic beams．International Journal Mechanical Sciences，2007，49:722 ～732

9 Nayfeh A H，Pai P F．Linear and nonlinear structural mechanics．New York:Wiley－Interscience，2004

10 Abolghasemi M，Jalali M．A．Attractors of a rotating viscoelastic beam．International．Journal．of Non－Linear Mechanics，2003，38:739～751

11 Nayfeh A H，Mook D T．Nonlinear oscillations．New York:Wiley－Interscience，1979

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11072204)，the Fundmental Research Funds for the Central Universities(SWJTU11ZT15)

† Corresponding author E－mail:yinghui．li@home．swjtu．edu．cn

VIBRATION ANALYSIS OF ROTATING VISCOELASTIC SANDWICH BEAM*

Jiang Baokun Li Yinghui†Li liang
(School of Mechanics and Eng，Southwest Jiaotong Univ，Chengdu610031，China)

The nonlinear free vibration analysis of rotating viscoelastic sandwich beam is presented in this article．The control equation of the rotating viscoelastic sandwich beam was established based on Kelvin－Voigt constitutive equation and large deflection theory．Partial differential equation of vibration was transformed into an ordinary differential one using Galerkin method．The ordinary differential equation of nonlinear vibration was solved by multiple scale method．Systems of equations were obtained by comparing coefficient of power of the micro parameter．First approximate solution of the nonlinear free vibration of rotating viscoelastic sandwich beam could be acquired by solving the systems of equations as well as eliminating the secular terms．Numerical simulation was used to discuss the effect of thickness of the sandwich layer，variation of rotating velocity and radius of the hub on nature frequency．The results indicated that natural frequency of the rotating viscoelastic sandwich beam increased with the increase of rotating velocity and radius of the hub while decreased with the increase of thickness of the sandwich layer．

rotating viscoelastic sandwich beam， Kelvin－Voigt， nonlinear vibration， multiple scale method，approximate solution，natural frequency

11 July 2012，

16 July 2012．

10．6052/1672－6553－2013－045

2012－07－11 收到第 1 稿，2012－07－16 收到修改稿．

*国家自然科学基金资助项目(11072204)和中央高校基本科研业务费专题项目(SWJTU11ZT15)

E－mail:yinghui．li@home．swjtu．edu．cn