从一道高考题谈学生的运算求解能力

安徽省黄山市屯溪第一中学 方 玮 （邮编：245011）

运算求解能力是高考对学生的能力要求之一，高考试卷中几乎每一道题都要考查到这种能力.一道题解题思路的探究过程需要它；一道题有了正确的思路以后，能否得到最终结果取决于它；一道题运算量的大小、运算难度与强度的高低也离不开它.因此，学生的运算求解能力直接关系到解题的效率和成败.

本文以2013年高考（安徽卷）文科数学第17题的第（Ⅱ）问为例，结合笔者所带班级中63名高二学生的原始答题情况，谈谈学生目前的运算求解能力.

1 原题再现

为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

（I）略.

2 解法归纳

从学生的原始解法中归纳出比较典型的6种正确解法和3种错误解法：

2.1 正确解法

正解2

2.2 错误解法

错解2由茎叶图可知甲、乙两校样本中有16人的成绩相同，则

3 解法评注

此类解法总人数为43，约占68.25%，其中解法1人数为12，约占19.05%；解法2人数为13，约占20.23%；解法3人数为18，约占28.57%.

从上述数据来看，此类解法属于该题的“通法”，其优点是学生容易想到，思路也比较自然；但其缺点是运算量较大，且运算易出错.尤其是解法1，学生计算的错误率要高于解法2和解法3.实际上，解法1只考查到学生的运算技能，而解法2和解法3则体现了对数据的处理能适当降低运算的难度，除了需要学生的运算技能外，更有思维能力的运用.正如《考试说明》中所说的：运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.

解法4 是将同一根“茎”两边的“叶”相抵消；解法5是将样本数据“分组”抵消；解法6是将样本数据“两两”抵消.这与前一类解法相比，不仅少了一个步骤，而且通过“减法”运算抵消了一部分数据，大大降低了运算的难度与强度，从而也降低了计算的“错误率”.《考试说明》中指出：运算能力包括分析运算条件，探究运算方向，选择运算公式，确定运算程序等一系列过程中的思维能力.第二类方法正是这一点的体现，尤其是解法4.（注：解法4是高考公布的参考答案）

但此类解法总人数仅为7，约占11.11%.其中解法4人数为3，约占4.76%；解法5人数为3，约占4.76%；解法6人数为1，约占1.59%.上述数据反映大部分学生在考场上短时间之内不易想到此类思路，而且“先入为主”的是前一类思路.由此说明学生目前的运算求解能力中的“思维能力”部分还有待提高.

评注3 从学生的答题思路中也发现了三种比较典型的错误解法，总人数为8，约占12.70%.其中错解1的思路同正解4，但它忽略了“茎”为5、6、7、9的“叶”不一样长，想当然地将两边的“叶”的数据的和抵消，从而得到错误的结果，甚是可惜.错解2与错解3则犯了“概念”上的错误，而且这种错误的隐蔽性高，不易发现.错解2先将甲、乙两校样本中的相同数据抵消，再将剩下14个数据的差的和除以14，从而得到错误结果.错解3先分别求出六组数据的平均数，再求这六个平均数的平均数，错误地把这个结果作为样本平均数，这两种错解都是混淆了样本平均数的概念.

4 教学反思

对于这次学生的答题情况，笔者感到大部分学生的运算求解能力还未达到高考的要求，当然这里有各种各样的原因，有教师方面的，也有学生方面的.学生在计算过程中出现的这样那样的错误也不仅仅是粗心、马虎所造成的，而应该是多方面原因的综合表现，所以应引起我们的足够重视.

4.1 不足之处

（1）平常在“茎叶图”等知识点的教学中，不大重视运算环节，总认为学生只要会算就可以了，没必要占用过多的教学时间，没有给学生创造训练“思维能力”和“运算技能”的机会.

（2）教学中忽略了“基本概念”的重要性，轻描淡写、一带而过，导致学生不能准确、清晰、完整地掌握概念.而一旦出现了概念错误，则使解题中的有些运算成为“无用功”.

（3）教学中缺乏训练“处理数据”的能力，导致学生见到大量的数据后，迷失了方向，很难在短时间内找到简捷的运算思路.

（4）学生考虑问题时“思维定势”比较严重，不能灵活变通.解题时急于动笔，忽略了思考，导致解题过程中存在较大的运算量，事倍功半，降低了解题的效率.

（5）学生对运算求解能力缺乏足够的认识，认为只要听懂思路，知道怎么做就行了，好高骛远且惰性严重，缺少动笔练习.

（6）学生考虑问题不够全面、不够深入，思考时只停留在问题的表面，或被一些表面现象所蒙蔽，导致犯了“想当然”的错误.

（7）学生平时过分依赖于计算器，错失动手、动脑的机会，从而影响了思维发展及运算技巧的掌握.

（8）学生在运算时往往显得不够自信，心理压力大，畏首畏尾，导致一些“低级错误”的发生.

4.2 改进方向

（1）教学中，对一些表面上简单的“运算”要端正态度，积极引导学生认真对待.课堂上要创造机会，给学生一个自主思考的空间.

（2）培养学生养成良好的审题习惯，遇到一些复杂的式子、复杂的运算，要细心去观察、比较，找出其中的联系、其中的规律，尽可能将其转化为简捷的运算.

（3）寻找思路时应从通法入手，但也不能思维定势，要结合问题的条件，灵活地选择运算公式，确定运算程序.

（4）培养学生养成“慢思考、快动笔”的习惯，要有耐性，不急不躁，克服急于求成的心理.考虑成熟后，方可减少运算量，提高解题的效率.

（5）培养学生认真计算的习惯，即使是简单的运算也要小心谨慎，计算时要书写工整、格式规范.保留好每一次计算的草稿纸，以便订正时与老师的思路对比，找到错误的原因，才能更有效地纠正错误.

（6）重视对“概念”的教学，让学生全方位、多角度地去理解概念，才能减少学生“想当然”方面的错误.

（7）加强对学生心理素质方面的训练，以平和的心态对待运算，既要做到“谨慎”，又要充满“自信”，要敢于做题、敢于计算，才能提高运算的速度和准确率.

（8）任何能力都是有计划、有目的地训练出来的.因此，要加强学生的运算练习，而且要按照一定的步骤和一定的规则进行多练、巧练、反复练.

总之，数学学习最重要的是创造能力，而解题则是培养学生创造能力的最好手段.只有运算求解能力提高了，解题水平才可以提高，数学学习就一定可以搞好.