基于DWT的多尺度分块变采样率压缩感知图像重构算法*

蒋业文，于昕梅

(佛山科学技术学院电子与信息工程学院，广东佛山 528000)

由于具有数据的稀疏性表示和高质量信号的恢复性能，压缩感知 (CS)理论目前成为图像采样和图像重构实现的研究热点［1－5］。现实自然图像在某些变换域下几乎总是可压缩的，因此，结合图像统计或结构的先验知识，CS算法如其他信号处理一样能够直接应用于图像数据处理，如图像的采样和重构都可在离散DWT域通过利用小波系数的统计模型来实现［6－7］。

对于图像数据的多维信号处理，CS技术应用的最大挑战是计算的复杂性问题。目前，解决此问题的主要方法是分块CS采样技术，而在重构实现时利用了分块CS的先验知识和平滑投影重构(BCS-SPL)技术［8－9］。相对于图像特征的CS全采样技术，这种方法确实提高了计算开销，解决了计算实时性问题。但是，一定程度上，BCS-SPL技术降低了重构的图像质量。

为了兼顾图像的重构质量和CS的计算开销，借鉴DWT域的BCS-SPL实现技术，本文提出一种新的多尺度分块CS实现技术。与文献 ［8］多尺度技术以及文献 ［10］通用的全变量TV-CS技术比较，本文的实现方法不但明显地提高了重构的图像质量，而且极大地节约了运行时间。

1 分块CS采样与BCS-SPL技术

CS理论说明，假设信号x∈RN为从M个采样信号中获得的长度为N的信号，且M＜＜N。那么，我们可以从 (1)式中恢复信号x:

其中，y的长度为M，而A为M×N测量矩阵 (也称为观测矩阵)，且具有子采样率S=M/N。如果x在某个变换矩阵Ψ(如DCT，DWT等)下是稀疏的，即有

这里，α为稀疏系数，‖α‖0表示0－范数，即稀疏系数非0的个数。这时，(1)式变为

可以证明［11－12］，当测量维数满足K＜M＜N时，信号x可以通过解决0－范数或1－范数下的优化问题从M=O(KlogN)个测量数据中高概率重构x。

对于一维信号测量矩阵A可采用高斯随机矩阵或伯努利二值随机矩阵等生成。但是，对于二维图像信号，N的长度非常大，如128×128的图像N的长度为104等级。因此，A的计算量很大且难以存储。这样，CS在2D图像中应用受到较大限制。为此，文献 ［13］提出一个分块 CS技术(Block-based CS，BCS)。在BCS中，一个图像被分成B×B块，并使用一个近似大小的测量矩阵进行采样。假设xi表示通过Z行扫描输入的第i个图像块的向量表示，那么有

其中，Ф为MB×B2大小的测量矩阵。因此，整个图像的采样子率为S=MB/B2。这时，(1)式中整个图像的测量矩阵A具有对角型结构性矩阵A=diag(Φ)，其形式为

这里分块的大小B根据图像重构的速率和重构的质量要求综合决定，按照经验，一般地取B=16，32，64。同时，由于分块之后测量矩阵Ф的维数相对降低，因此，各个块的初始值xi0通过下式可以得到

在［5］中，提出的BCS算法中，图像的采样通过分块基的随机矩阵实现，而图像的重构结合平滑滤波器由投影Landweber(PL)算法实现。因此，它的整个实现技术称为BCS-SPL。

BCS-SPL能够实现图像的快速重构，但重构的图像质量取决于分块测量矩阵Ф的具体实现形式。为此，本文基于BCS特性提出一种新的BCS-SPL技术，用以改进图像的重构质量，同时保持图像重构操作的实时性。

2 基于DWT的多尺度BCS-SPL实现技术

2.1 DWT多尺度BCS采样技术

在DWT多尺度BCS-SPL算法研究中，我们把测量矩阵A被分成两个部分:一个是DWT多尺度变换矩阵Ω，另一个是多尺度分块测量矩阵Φ/，即A=Φ/Ω。因此，有

假设Ω为L级DWT分解。那么，在每一级，Φ/组成L个不同的分块采样实现矩阵。这时，图像x的DWT变换形式为Ωx。则，在l级的子带被分成Bl×Bl块，并通过适当大小的矩阵Φl进行采样(其中l=L为最高级分辨率)。

假设是第l级子带s上的第j块图像的向量表示，且满足s∈{H，V，D}，1≤l≤L(H表示水平方向子带，V为垂直方向子带，D为对角方向子带)。那么，CS的观测值为

由于不同级的小波分解对图像重构有不同的重要性，因此，本文在每一个l级都会调整采样过程以产生不同的采样子率Sl。其中，设置DWT基带子率为全采样子率，S0=1。

设l级的子率Sl为

这里，Wl为l级的子率加权系数。则，整个图像的采样子率为

可见，当已知图像的目标采样率S和加权系数Wl后，由 (10)式很容易求出S/，由此再通过 (9)式得到l级的子率Sl。但是，这种处理会产生一个或多个Sl＞1的情况。所以，我们必须要对此进行改进并迫使所有l级情况下Sl≤1。由 (9)和(10)式求得S/和S1后，我们检查是否S1＞1。如果S1＞1成立，设置S1=1，代入 (10)式，可以得到

求出S/，再次通过 (9)式重新确定l=2，…，L情况下的子率Sl。重复此过程，直到所有l级情况下Sl≤1。

特别地，经过多次实验，子率加权系数Wl通过下式确定:

表1说明了在各种不同的目标子率下，L=3级DWT变换实现的各级子率统计。

表1 L=3级DWT变换实现的子率统计Table 1 The subrate statistics of three level DWT

2.2 多尺度BCS图像重构算法

在图像DWT稀疏变换域内，结合图像边缘的3×3维纳滤波和稀疏提升阈值处理，表2说明了本文多尺度BCS图像重构实现算法的流程。其中，维纳滤波在空间域实现，而平滑和阈值操作在变换域进行，Landweber实现步骤形式为x←x+ΦT(y－Φx)。实现时，在DWT分解的每一级中的每个块都使用了适当大小的Φl采样矩阵和Landweber迭代步骤。

表2 多尺度BCS 2D图像重构算法Table 2 The 2D image reconstruction algorithm based multiscale BCS

3 实验结果

对512×512的几幅灰度图像进行基于DWT的多尺度BCS采样并且重构，同时与文献 ［8］提出的BCS-SPL算法、文献 ［10］提出的TV算法以及文献 ［9］描述的多尺度GPSR算法进行比较。其中，本文算法和 BCS-SPL算法均使用双树DWT(DDWT)作为稀疏基Ψ，采样时使用9/7双正交3级DWT作为多尺度变换矩阵Ω。Ω进行l级分解时，大小为Bl×Bl图像块采样使用文献 ［11］提出的随机DCT SRM观测矩阵进行实现。而TV算法使用文献 ［10］的扰乱块Hadamard SRM作为观测矩阵，多尺度GPSR算法使用Gaussian尺度混合模型进行采样。其他实验条件相同。当l=1，2，3时，块的大小分别为Bl=16，32，64，每一级的采样子率都使用表1的计算结果。图1说明了几种算法重构Lena图像的部分实验结果。由图可见，当采样子率S=0.1时，本算法提出的小波域分块采样和多尺度重构的图像质量优于BCS-SPL算法约3 dB。同时，本算法也优于TV算法和多尺度GPSR算法约1－2 dB。表3说明了几种算法对Lena图像、Barbara图像以及Pepper图像重构质量(以PSNR为衡量标准)的对比结果。某些情况下，当采样子率较高时，对于重构的Barbara图像，TV算法性能优于其它算法。但是，TV算法的实时性能最差。

4 结论

在DWT域内，利用分块CS采样技术，本文提出了一种图像多尺度分块压缩感知采样与重构图像算法。相比BCS-SPL算法，由于本文的算法在DWT每级分解的每个子带上都使用多尺度重构Landweber技术并结合了维纳滤波技术，使重构的图像质量大约提高了1～3 dB。同时，本文的算法降低了实现的复杂性，并具有较高的实时性能。相对于常用的DWT图像处理算法，由于分块CS图像处理算法在每个子带上利用了DWT的多分辨率和多尺度特性，所以，其观测结果能充分表示图像的内部结构。因此，本文提出的算法重构的图像质量也更好，且需要的数据量更少。但它比常用的DWT图像处理算法复杂性要高，且实时性较差。这也是提高图像重构质量带来的必然结果。未来，我们将进一步研究该算法对图像特征采样的稀疏性和实现的有效性。

图1 CS图像重构算法的实现比较 (S=0.1)Fig.1 The performances comparison based CS image reconstruction algorithm

表3 几种算法重构图像的PSNR(dB)对比结果Table 3 Comparison Results of PSNR(in dB)for several image reconstruction algorithm

［1］CANDES E，ROMBERG J，TERENCE TAO.Robust uncertainty principles:Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information［J］.IEEE Trans On Information Theory，2006，52(2):489 －509.

［2］DONLHO D L，TSAIG Y.Extensions of compressed sensing［J］.Signal Processing，2006，86(3):533 －548.

［3］CHEN C，TRAMEL E W，FOWLER J E.Compressed-Sensing recovery of images and video using multihypothesis predictions［C］∥Proceedings of the 45th Asilomar Conference on Signals，Systems and Computers，Pacific Gro-ve，CA，2011:1193－1198.

［4］杨海蓉，张成，丁大为，等.压缩感知理论与重构算法［J］.电子学报，2011，39(1):142 －147.

［5］练秋生，周婷.结合字典稀疏表示和非局部相似性的自适应压缩成像算法［J］.电子学报，2012，40(7):1416－1422.

［6］KIM Y，NADAR M S，BILGIN A.Compressed sensing using a Gaussian scale mixtures model in wavelet Domain［C］∥Proceedings of the International Conference on Image Processing，Hong Kong，2010:3365 －3368.

［7］周燕，张德丰，马子龙.基于压缩传感的图像哈希水印算法［J］.中山大学学报:自然科学版，2010，49(6):58－63.

［8］MUN S，FOWLER J E.Block compressed sensing of images using directional transforms［C］∥Proceedings of the International Conference on Image Processing，Cairo，Egypt，2009:3021 －3024.

［9］SCHNITER P，POTTER L C，ZINIEL J.Fast bayesian matching pursuit:Model uncertainty and parameter estimationfor sparse linear models［J］.IEEE Transactionson Signal Processing，2009，57(3):2201－2229.

［10］CANDES E，ROMBERG J，TERENCE T.Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements［J］.Communications on Pure and Applied Mathematics，2006，59(8):1207 －1223.

［11］DO T T，TRAN T D，GAN L.Fast compressive sampling with structurally random matrices［C］∥Proceedings of the International Conference on Acoustics，Speech，and Signal Processing，2008:3369－3372.

［12］赵慧民，郭一缜，丁晓艳，等.用于视频多播传输的压缩传感实现方法研究［J］.中山大学学报:自然科学版，2012，51(1):45－49.

［13］GAN L.Block compressed sensing of natural images［C］∥Proceedings of the International Conference on Digital Signal Processing，Cardiff，UK，2007:403 －406.